Ero sivun ”Suljettu joukko” versioiden välillä
Siirry navigaatioon
Siirry hakuun
| [katsottu versio] | [katsottu versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Usp (keskustelu | muokkaukset) w |
päivitys |
||
| Rivi 2: | Rivi 2: | ||
[[Suljettu joukko]] on [[Matematiikka|matemaattinen]] [[Joukko|joukkoa]] koskeva käsite. |
[[Suljettu joukko]] on [[Matematiikka|matemaattinen]] [[Joukko|joukkoa]] koskeva käsite. |
||
Olkoon <math>(X,\mathcal{T})</math> [[topologinen avaruus]]. [[Osajoukko|Osajoukkoa]] <math>E \subset X</math> kutsutaan '''suljetuksi joukoksi''' jos ja vain jos sen [[komplementti]] <math>\complement E \in \mathcal{T}</math>. Toisin sanoen joukko on suljettu jos ja vain jos sen komplementti on avoin (topologiassa <math>\mathcal{T}</math>). |
Olkoon <math>(X,\mathcal{T})</math> [[topologinen avaruus]]. [[Osajoukko|Osajoukkoa]] <math>E \subset X</math> kutsutaan '''suljetuksi joukoksi''' jos ja vain jos sen [[komplementti]] <math>\complement E \in \mathcal{T}</math>. Toisin sanoen joukko on suljettu jos ja vain jos sen komplementti on avoin (topologiassa <math>\mathcal{T}</math>).<ref name=m1/> |
||
Voidaan osoittaa, että jokainen suljettujen joukkojen [[leikkaus (matematiikka)|leikkaus]] on suljettu. Myös jokainen suljettujen joukkojen äärellinen [[yhdiste (matematiikka)|yhdiste]] eli unioni on suljettu. [[Tyhjä joukko]] on samanaikaisesti sekä suljettu että avoin, koska se toteuttaa molempien määritelmät. |
Voidaan osoittaa, että jokainen suljettujen joukkojen [[leikkaus (matematiikka)|leikkaus]] on suljettu. Myös jokainen suljettujen joukkojen äärellinen [[yhdiste (matematiikka)|yhdiste]] eli unioni on suljettu. [[Tyhjä joukko]] on samanaikaisesti sekä suljettu että avoin, koska se toteuttaa molempien määritelmät. |
||
Mikäli määräämme reaaliakselille <math>\mathbb{R}</math> [[itseisarvo|itseisarvon]] virittämät avoimet joukot, niin erityisesti <math>\mathbb{R}</math>:n [[avoin väli|avoimet välit]] ovat nyt avoimia joukkoja. Tästä seuraa, että esimerkiksi [[suljettu väli|suljetut välit]] <math>[a,b]</math> ovat suljettuja joukkoja, sillä niiden komplementti saadaan avoimien välien <math>]-\infty,a[</math> ja <math>]b,\infty [</math> [[yhdiste|yhdisteenä]], joka on [[topologia (matematiikka)|topologian]] määritelmän mukaan avoin joukko. |
Mikäli määräämme reaaliakselille <math>\mathbb{R}</math> [[itseisarvo|itseisarvon]] virittämät avoimet joukot, niin erityisesti <math>\mathbb{R}</math>:n [[avoin väli|avoimet välit]] ovat nyt avoimia joukkoja. Tästä seuraa, että esimerkiksi [[suljettu väli|suljetut välit]] <math>[a,b]</math> ovat suljettuja joukkoja, sillä niiden komplementti saadaan avoimien välien <math>]-\infty,a[</math> ja <math>]b,\infty [</math> [[yhdiste|yhdisteenä]], joka on [[topologia (matematiikka)|topologian]] määritelmän mukaan avoin joukko. |
||
== Lähteet == |
|||
{{Viitteet|viitteet= |
|||
* <ref name=m1>{{Kirjaviite | Tekijä=Thompson, Jan & Martinson, Thomas | Nimeke=Matematiikan käsikirja | Julkaisupaikka=Helsinki | Julkaisija=Tammi | Vuosi=1994 | Tunniste=ISBN 951-31-0471-0}}</ref> |
|||
}} |
|||
==Kirjallisuutta== |
==Kirjallisuutta== |
||
Versio 5. heinäkuuta 2019 kello 00.02
 |
Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan. |
Suljettu joukko on matemaattinen joukkoa koskeva käsite.
Olkoon topologinen avaruus. Osajoukkoa kutsutaan suljetuksi joukoksi jos ja vain jos sen komplementti . Toisin sanoen joukko on suljettu jos ja vain jos sen komplementti on avoin (topologiassa ).[1]
Voidaan osoittaa, että jokainen suljettujen joukkojen leikkaus on suljettu. Myös jokainen suljettujen joukkojen äärellinen yhdiste eli unioni on suljettu. Tyhjä joukko on samanaikaisesti sekä suljettu että avoin, koska se toteuttaa molempien määritelmät.
Mikäli määräämme reaaliakselille itseisarvon virittämät avoimet joukot, niin erityisesti :n avoimet välit ovat nyt avoimia joukkoja. Tästä seuraa, että esimerkiksi suljetut välit ovat suljettuja joukkoja, sillä niiden komplementti saadaan avoimien välien ja yhdisteenä, joka on topologian määritelmän mukaan avoin joukko.
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle ]-\infty ,a[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d095dfb661cce4d1bd905afb0d2324f1e151058b)
![{\displaystyle ]b,\infty [}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e923b980badfeb76b42988517e348dccd84ad31)
Lähteet
- ↑ Thompson, Jan & Martinson, Thomas: Matematiikan käsikirja. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.
Kirjallisuutta
- Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. Opintomoniste 15. Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7.