Senaarijärjestelmä

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Senaarijärjestelmä (kuusijärjestelmä) on lukujärjestelmä, jonka kantaluku on 6. Lukujen esittämiseen käytetään numeroita 0–5. Kuusijärjestelmän lukuja merkitään alaindeksillä 6.

Senaarijärjestelmän pieni kertotaulu
1 2 3 4 5 10
2 4 10 12 14 20
3 10 13 20 23 30
4 12 20 24 32 40
5 14 23 32 41 50
10 20 30 40 50 100

Alkuluvut senaarijärjestelmässä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kuusijärjestelmää sopii hyvin esimerkiksi alkulukujen tutkimiseen, koska kaikki alkuluvut, paitsi luvut 2 ja 3, päättyvät järjestelmässä joko numeroon 1 tai 5. Toisin sanoen, jos p on alkuluku, niin p ≡ 1 (mod 6) tai p ≡ 5 (mod 6).

Yllä oleva ominaisuus todistetaan kongruenssin ominaisuuksien perusteella. Nimittäin jos xa (mod n), niin x = k n + a, missä x, a, k, n ovat tiettyjä kokonaislukuja.

Tarkastellaan nyt alkulukua p modulo 6.

Ensinnäkin p ei ole parillinen. Näin ollen mikään ehdoista p ≡ 0 (mod 6), p ≡ 2 (mod 6) tai p ≡ 4 (mod 6) ei ole voimassa, koska muuten voisi esimerkiksi olla p = 6k + 4 = 2(3k + 2) jollain kokonaisluvulla k osittelulain nojalla.

Toisaalta tiedetään esimerkeistä, että on olemassa alkulukuja, jotka toteuttavat joko yhtälön p ≡ 1 (mod 6) tai p ≡ 5 (mod 6). Riittää siis tarkastella vielä tapausta p ≡ 3 (mod 6).

Jos p ≡ 3 (mod 6), niin p = 6k + 3 = 3(2k + 1) jollain k, jälleen osittelulain perusteella. Toisin sanoen, on olemassa alkuluku p, joka on jaollinen luvulla 3, joten p ei ole alkuluku. Tämä on ristiriita, joten oletuksen p ≡ 3 (mod 6) täytyy olla väärä ja alkuperäinen väite tosi. M.O.T.

Huomautettakoon, että kaikki senaarijärjestelmässä numeroihin 1 tai 5 päättyvät luvut eivät kuitenkaan ole alkulukuja. Esimerkiksi luku 25 = 416 on neliöluku, eikä siis alkuluku.

Murtoluvut[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Murtolukujen vertailua kymmen- ja senaarijärjestelmissä
1:n Kymmenjärjestelmä Senaarijärjestelmä
1:2 0.5 0.3
1:3 0.\bar{3} 0.2
1:4 0.25 0.13
1:5 0.2 0.\bar{1}
1:6 0.1\bar{6} 0.1
1:7 0.\overline{142857} 0.\overline{05}
1:8 0.125 0.043
1:9 0.\bar{1} 0.04
1:10 0.1 0.0\bar{3}
1:11 0.\overline{09} 0.\overline{0313452421}
1:12 0.08\bar{3} 0.03
1:13 0.\overline{076923} 0.\overline{024340531215}
1:14 0.07\overline{142857} 0.0\overline{23}
1:15 0.0\bar{6} 0.0\bar{2}
1:16 0.0625 0.0213
Numerojärjestelmät
arabialainen | armenialainen | babylonialainen | heprealainen | kiinalainen | kreikkalainen | mayalainen | roomalainen
Lukujärjestelmät
binääri- | senaari- | oktaali- | kymmen- (desimaali-) | duodesimaali- | heksadesimaali- | vigesimaali- | seksagesimaalijärjestelmä
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.