Neliöluku

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Neliöluku on positiivinen kokonaisluku, jonka osoittamasta määrästä pisteitä voidaan muodostaa neliön muotoinen kuvio. [1] Polygonal Number 4.gif

Neliöluvut voidaan määrittää lausekkeella , jossa n on positiivinen kokonaisluku. Esimerkiksi 9 on neliöluku, koska [1] Kymmenen ensimmäistä neliölukua ovat 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 ja 100. [2]

Kuvassa näkyvä punainen lisäys on kreikkalaisittain nimeltään gnomon ja sitä vastaa neliöluvussa pariton luku

Neliöluvut ovat kolmiolukujen jälkeen yksinkertaisin ryhmä monikulmiolukuja, jotka ovat pisteillä muodostettujen säännöllisten monikulmioden lukuja[3]. Monikulmioluvut ovat osa kuviolukujen ryhmää.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Neliöluvut saadaan aritmeettisena summana, jossa lasketaan peräkkäistä paritonta lukua yhteen:

[1]

Tämä voidaan tulkita summaksi, jossa ensimmäisenä lukuna on pienin neliöluku ja sitten siihen lisätään gnomoneita

Neliölukujoukon komplementti eli ei-neliölukujen joukko voidaan muodostaa lausekeen avulla, missä käytetään lattiafunktioita. Lausekkeesta saadaan luvut 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, ... , joista puuttuvat neliöluvut.[1]

Yhteyksiä matematiikkaan[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Neliölukujen ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Seuraavan neliöluvun voi muodostaa rekursiivisesti edellisen neliöluvun avulla seuraavasti.

Square number 1 with gnomon.svg Square number 4 with gnomon.svg Square number 9 with gnomon.svg Square number 16 with gnomon.svg

Rekursiivisesti ilmaistuna seuraava neliöluku on [1]

Kytkentä muihin kuviolukuihin[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Neliöluvut voidaan aina esittää kahden kolmioluvun avulla

[1]

Yhteyksiä muuhun matematiikkaan[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos luku parillinen luku, niin luvut ja ovat peräkkäiset parittomat luvut. Vastaavasti, jos on pariton luku, niin luvut ovat peräkkäiset parilliset luvut. Peräkkäisten parillisten (parittomien) lukujen tulo yhdellä lisättynä on neliöluku eli

[1]

Jokainen luonnollinen luku voidaan esittää korkeintan neljän neliöluvun summana. Tällaisia tapauksia ovat esimerkiksi ja Samoin jokainen luku voidaan esittää korkeintaan kolmen etumerkillisen neliöluvun summana eli esimerkiksi ja [1]

Neljän parittoman luvun neliöiden summa voidaan lausua myös neljän parillisen luvun neliöitten summana.[1]

Alkuluku , joka voidaan lausua muodossa , voidaan esittää kahden luvunneliön summana. Esimerkiksi luku 29 on tällainen luku, koska [4]

Historiaa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Muun muassa pythagoralaiset 500 eaa. tutkivat lukujen ominaisuuksia ja niihin liittyvää mystiikkaa. Kolmioluvut, neliöluvut ja muut monikulmioluvut olivat keskeinen osa lukujen oppirakennelmaa. [5] Euroopassa Pierre de Fermat tutki muiden töidensä oheella myös pythagoralaisten matematiikkaa. Hänen todistusmenetelmänsä selittivät monia kuviolukujen ominaisuuksia ja kasvanut kiinnostus lukuihin kiteytyi lukuteoriassa, joka voidaan syntyneen tästä harrastuksesta. [6]

Fermat esitti kirjeenvaihdossaan teoreeman, että jokainen luonnollinen luku voidaan esittää n:n n-kulmioluvun summana. Teoreeman todisti yleisellä tasolla ensimmäisenä Augustin-Louis Cauchy. [7]

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar - Matematiikan historia osa I ja II. Suom. Pietiläinen, Kimmo. Juva: Art House, 1994. ISBN 951-884-159-4.
  1. a b c d e f g h i Weisstein, Eric W.: Square Number (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  2. OEIS: Trangular number
  3. Weisstein, Eric W.: Polygonal Number (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar, ss. 499
  5. Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar, ss. 93 - 95
  6. Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar, ss. 498 - 501
  7. Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar, ss. 726