Monikulmioluku

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Monikulmioluku on mikä tahansa luonnollinen luku, jota vastaava määrä pisteitä voidaan asetella tasavälein pinnalle niin, että ne muodostavat säännöllisen monikulmion[1]. Monikulmioluvut ovat eräs kuviolukujen ryhmä: niissä pisteitä asetellaan tasolle.

Johdanto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Esimerkiksi luku 10 on kolmioluku, sillä 10 kiveä voidaan asettaa tasasivuiseksi kolmioksi.

*
**
***
****

Sama luku 10 ei voi olla neliöluku, mutta luku 9 sitä vastoin voi olla.

***
***
***

Joskus sama luku voi olla sekä kolmio- että neliöluku. Pienin tällainen luku on 36.

******
******
******
******
******
******
*
**
***
****
*****
******
*******
********

Muita monikulmiolukuja ovat muun muassa kolmioluvut, neliöluvut, viisikulmioluvut ja kuusikulmioluvut.

Säännönmukaisia piirteitä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Merkitään jatkossa monikulmion sivujen lukumääräksi ja lukujonon jäsenen indeksiksi.

Lausekkeita[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ensimmäinen n-monikulmioluku on aina 1 ja seuraava s.[2]

Lauseke antaa monikulmioluvun arvon, kun

[3][4]

Seuraava lauseke lausuu :nnen monikulmioluvun kolmiolukujen avulla:

[3]

Monikulmiolukujonon kahden peräkkäisen luvun erotuksen lauseke on

Kahden monikulmioluvun, joiden sivujen lukumäärä eroaa vain yhdellä, saman jäsenen arvot eroavat kolmioluvun verran:

Jos tiedetään monikulmioluvun sivujen lukumäärän , voidaan laskea sen indeksi lausekkeesta

[3]

Lukuarvoja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Alle on koottu ensimmäisten monikulmiolukujen tietoja. Sarakkeessa "Jonon jäsenten lauseke" annetaan sijoitetussa muodossa lauseke, jolla voidaan laskea monikulmioluvun indeksillä annetun jäsenen arvo. Sen perässä on luettelo kymmenestä ensimmäisestä monikulmioluvusta. Joistakin monikulmioluvuista tunnetaan niiden käänteislukujen sarjan arvo. Gottfried Wilhelm Leibniz ratkaisi ensimmäisenä kolmiolukujen sarjan arvon[5]. Viimeisessä sarakkeessa on linkki kokonaislukujen jonojen sivustolle (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences).

s Nimi Jonon jäsenen lauseke Jäsenet n:n arvoilla 1…10 Käänteislukujen summa[4] OEIS-numero
3 kolmioluku 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55 A000217
4 neliöluku 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 A000290
5 viisikulmioluku 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145 A000326
6 kuusikulmioluku 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190 A000384
7 seitsenkulmioluku 1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, 148, 189, 235 A000566
8 kahdeksankulmioluku 1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, 176, 225, 280 A000567
9 yhdeksänkulmioluku 1, 9, 24, 46, 75, 111, 154, 204, 261, 325 A001106
10 kymmenkulmioluku 1, 10, 27, 52, 85, 126, 175, 232, 297, 370 A001107
11 yksitoistakulmioluku 1, 11, 30, 58, 95, 141, 196, 260, 333, 415 A051682
12 kaksitoistakulmioluku 1, 12, 33, 64, 105, 156, 217, 288, 369, 460 A051624
13 kolmetoistakulmioluku 1, 13, 36, 70, 115, 171, 238, 316, 405, 505 A051865
14 neljätoistakulmioluku 1, 14, 39, 76, 125, 186, 259, 344, 441, 550 A051866
15 viisitoistakulmioluku 1, 15, 42, 82, 135, 201, 280, 372, 477, 595 A051867
16 kuusitoistakulmioluku 1, 16, 45, 88, 145, 216, 301, 400, 513, 640 A051868
17 seitsemäntoistakulmioluku 1, 17, 48, 94, 155, 231, 322, 428, 549, 685 A051869
18 kahdeksantoistakulmioluku 1, 18, 51, 100, 165, 246, 343, 456, 585, 730 A051870
19 yhdeksäntoistakulmioluku 1, 19, 54, 106, 175, 261, 364, 484, 621, 775 A051871
20 kaksikymmentäkulmioluku 1, 20, 57, 112, 185, 276, 385, 512, 657, 820 A051872
21 kaksikymmentäyksikulmio­luku 1, 21, 60, 118, 195, 291, 406, 540, 693, 865 A051873
22 kaksikymmentäkaksikulmio­luku 1, 22, 63, 124, 205, 306, 427, 568, 729, 910 A051874
23 kaksikymmentäkolmekulmio­luku 1, 23, 66, 130, 215, 321, 448, 596, 765, 955 A051875
24 kaksikymmentäneljäkulmio­luku 1, 24, 69, 136, 225, 336, 469, 624, 801, 1000 A051876

Yhteisiä lukuja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jotkin monikulmioluvut, kuten yllä oleva esimerkki 36, joka kuuluu kolmio- ja neliölukuihin, kuuluvat kahteen ryhmään saman aikaisesti. Pellin yhtälöllä on mahdollista selvittää kahden ryhmän yhteiset luvut.

Seuraavassa taulukossa on luetteloitu joidenkin monikulmiolukujen yhteiset luvut. Luku esittävät lukujen kulmien määrää. Joissakin tapauksissa ainoa yhteinen jäsen on ensimmäinen luku 1. Näin on esimerkiksi, kun .

s t Jono OEIS-numero
4 3 1, 36, 1225, 41616, … A001110
5 3 1, 210, 40755, 7906276, … A014979
5 4 1, 9801, 94109401, … A036353
6 3 kaikki kuusikulmioluvut A000384
6 4 1, 1225, 1413721, … A046177
6 5 1, 40755, 1533776805, … A046180
7 3 1, 55, 121771, 5720653, … A046194
7 4 1, 81, 5929, 2307361, … A036354
7 5 1, 4347, 16701685, … A048900
7 6 1, 121771, 12625478965, … A048903
8 3 1, 21, 11781, 203841, … A046183
8 4 1, 225, 43681, 8473921, … A036428
8 5 1, 176, 1575425, … A046189
8 6 1, 11781, 113123361, … A046192
8 7 1, 297045, 69010153345, … A048906
9 3 1, 325, 82621, 20985481, … A048909
9 4 1, 9, 1089, 8281, 978121, … A036411
9 5 1, 651, 180868051, … A048915
9 6 1, 325, 5330229625, … A048918
9 7 1, 26884, 542041975, … A048921
9 8 1, 631125, 286703855361, … A048924

Historiaa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Muun muassa pythagoralaiset tutkivat noin 500 eaa. lukujen ominaisuuksia ja niihin liittyvää mystiikkaa. Kolmioluvut olivat keskeinen osa kuviolukujen oppirakennelmaa ja liittyi ilmeisesti oleellisella tavalla numerologiaan. Heidän lukuteoriansa piti pyhän tetraktyksen kolmiorakennetta samassa arvossa kuin säännöllistä geometrista viisikulmiota eli pentagrammia. Etuoikeutettujen lukujen luokkia oli runsaasti. Filolaos totesi, että kaikkiin asioihin voidaan liittää luku ja että mitään ei voida kuvitella tai tietää ilman lukua.[6]

Pierre de Fermat tutki muiden töidensä oheella myös pythagoralaisten matematiikkaa käsitellen muun muassa täydellisiä lukuja, kuviolukuja ja alkulukuja. Hänen todistusmenetelmät avasivat lukujen maailman tehokkaasti ja samalla hän perusti lukuteorian. Hän ehdotti haasteena muille, että jokainen luonnollinen luku voidaan esittää korkeintaan k:lla k-kulmioluvulla (Fermat’n monikulmiolause). Hän myös väitti todistaneensa väitteensä, mutta todistusta ei ole löydetty hänen paperiensa joukosta. Carl Gustav Jacob Jacobi ja Joseph-Louis Lagrange (Lagrangen neljän neliön lause, vuonna 1772) sekä Leonhard Euler ovat todistaneet sen neliölukujen tapauksessa ja Carl Friedrich Gauss kolmiolukujen tapauksessa vuonna 1796. Vasta Augustin-Louis Cauchy todisti sen yleisessä tapauksessa vuonna 1813.[7][3][8]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osat I–II. Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-150-0, ISBN 951-884-158-6.
  • Lehtinen, Matti: Matematiikan historia (pdf) (Oulun yliopiston luento) 2011. Oulu: Oulun Yliopisto.

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Weisstein, Eric W.: Figurate Number (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  2. Lehtinen 2011, s. 19.
  3. a b c d Weisstein, Eric W.: Polygonal Number (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. a b Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers
  5. Boyer, s. 562–566.
  6. Boyer, s. 93–95.
  7. Boyer, s. 498–501.
  8. Boyer, s. 726.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]