Planckin yksiköt

Planckin yksiköt on Max Planckin vuonna 1899 esittelemä luonnollinen yksikköjärjestelmä, joka perustuu neljään seuraavassa taulukossa esitettyyn luonnonvakioon.

Vakio	Symboli	Dimensio	Suuruus SI-yksikköinä
valonnopeus	${c}\$	L T⁻¹	299 792 458 m/s
gravitaatiovakio	${G}\$	M⁻¹L³T⁻²	6,67428 · 10^-11 m³ kg⁻¹ s⁻²
Redusoitu Planckin vakio	$\hbar$	ML²T⁻¹	1,054571628 · 10^-34 Js
Boltzmannin vakio	${k}\$	ML²T⁻²Θ⁻¹	1,380649 · 10^-23 J/K

Planckin yksikköjärjestelmässä kaikki nämä luonnonvakiot saavat arvon 1 yksikköjärjestelmän perusyksiköissä esitettynä. Vakiot liittyvät fysiikan perusteorioihin: c suhteellisuusteoriaan, G Newtonin gravitaatioteoriaan ja yleiseen suhteellisuusteoriaan, ħ kvanttimekaniikkaan ja k_B statistiseen mekaniikkaan ja termodynamiikkaan. Teoreettisessa fysiikassa Planckin yksiköillä fysiikan lakeja esittävät yhtälöt voidaan esittää yksinkertaisimmassa mahdollisessa muodoissa.

Planckin yksiköt eivät alkuperäisessä muodossaan sisällä sähkömagneettisia yksiköitä, esimerkiksi varauksen tai sähkövirran yksiköitä. Eräät yksikköjärjestelmän laajennokset määrittelevät sähkömagneettiset yksiköt siten että joko tyhjiön permittiivisyys ε₀ tai 4πε₀ saa arvon 1.

Perusyksiköt

Mittayksikköjärjestelmissä suureet esitetään vertaamalla niitä johonkin referenssisuureeseen eli yksikköön. Esimerkiksi SI-järjestelmässä pituuden referenssisuure on pituuden perusyksikkö metri. Luonnollisissa järjestelmissä, kuten Planckin järjestelmässä luonnonvakioita vastaavien suureiden referenssinä käytetään luonnonvakioita itseään, jolloin luonnonvakiot saavat yksikköjärjestelmän koherenteissa yksiköissä ilmaistuna arvon 1. Muut järjestelmän yksiköt rakennetaan luonnonvakioista peruslaskutoimitusten avulla. Planckin järjestelmän perussuureet ovat pituus, aika, massa ja lämpötila.^[1] Järjestelmän mukaista pituuden yksikköä sanotaan Planckin pituudeksi, aikayksikköä Planckin ajaksi ja niin edelleen.

Perussuureiden Planckin yksiköt
Suure	Yksikkö	Lauseke perusvakioiden avulla	Suuruus SI-järjestelmän yksikköinä ja sen epätarkkuus^[2]
Pituus	Planckin pituus	$l_{P}={\sqrt {\frac {G\hbar }{c^{3}}}}\;$	1,616252(81) · 10^-35 m
Aika	Planckin aika	$t_{P}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}\;$	5,39124(27) · 10^-44 s
Massa	Planckin massa	$m_{P}={\sqrt {c\hbar /G}}\;$	2,17644(11) · 10^-8 kg
Lämpötila	Planckin lämpötila	$T_{P}={\frac {\sqrt {c^{5}{\frac {\hbar }{G}}}}{k}}$	1,415 · 10³² K

Johdannaisyksiköt

Perusyksiköistä voidaan johtaa yksiköt myös johdannaissuureille. Muutamien johdannaissuureiden yksiköiksi saadaan Planckin järjestelmässä jokin edellä luetelluista perusvakioista.

Johdannaissuureiden yksiköitä ovat esimerkiksi seuraavat:

Suure	Yksikkö	Lauseke	Suuruus SI-yksikköinä
Pinta-ala	Planckin pinta-ala	$A_{P}=l_{P}^{2}={\frac {G\hbar }{c^{3}}}\;$	2,61227 · 10^-70 m²
Tilavuus	Planckin tilavuus	$l_{P}^{3}=\left({\frac {\hbar G}{c^{3}}}\right)^{\frac {3}{2}}={\sqrt {\frac {(\hbar G)^{3}}{c^{9}}}}$	4,22419 · 10^-105 m³
Tiheys	Planckin tiheys	$\rho _{P}={\frac {m_{P}}{l_{P}^{3}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}\;$	5,1 · 10⁹⁶ kg/m³
Nopeus	Valonnopeus	c	299 792 458 m/s
Liikemäärä	Planckin liikemäärä	$m_{P}c={\frac {\hbar }{l_{P}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{G}}}$	6,52485 Ns
Pyörimismäärä	Redusoitu Planckin vakio	$\hbar$	1,054571628 · 10^-34 Js
Voima	Planckin voima	$F_{P}={\frac {m_{P}l_{P}}{t_{P}^{2}}}={\frac {c^{4}}{G}}\;$	1,210 · 10⁴⁴ N
Paine	Planckin paine	$p_{P}={\frac {F_{P}}{l_{P}^{2}}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}\;$	4,635 · 10¹¹³ P
Energia	Planckin energia	$E_{P}=F_{P}l_{P}=c^{2}{\sqrt {\frac {c\hbar }{G}}}$	1,956 · 10⁹ J
Teho	Planckin teho	$P_{P}={\frac {E_{P}}{t_{P}}}={\frac {c^{5}}{G}}\;$	3,629 · 10⁵² W
Lämpökapasiteetti ja entropia	Boltzmannin vakio	k	1,380649 · 10^-23 J/K

Merkitys

Teoreettisessa fysiikassa Planckin yksiköillä on syvällinen merkitys, sillä niiden avulla fysiikan lakeja esittävät yhtälöt voidaan esittää yksinkertaisimmassa mahdollisessa muodoissa. Erityisen suuri merkitys niillä on kehiteltäessä yhtenäisteorioita kuten kvanttigravitaation teoriaa.

Luonnollisten yksiköiden avulla eräät fysiikan peruskysymykset on myös voitu muotoilla uudelleen. Monet fyysikot kuten Richard Feynman ja Paul Dirac ovat yrittäneet etsiä selitystä esimerkiksi sille, miksi gravitaatio on niin heikko, esimerkiksi kahden protonin välillä, on niin heikko verrattuna niiden väliseen sähköiseen voimaan. Gravitaation heikkoutta kuvaa dimensioton luku

N={\frac {Gm_{p}^{2}}{\hbar c}}\approx 3\cdot 10^{-39}

missä G on gravitaatiovakio, m_p protonin massa, $\hbar$ redusoitu Planckin vakio ja c valonnopeus.^[3] Koska näistä G, h ja c ovat perusvakioita, joiden arvo Planckin yksiköissä on 1, oikea kysymys ei Frank Wilczekin mukaan ole, miksi gravitaatio on niin heikko, vaan pikemminkin: miksi "Miksi protonin massa on niin pieni?". Luonnollisten (Planckin) yksiköiden kannalta gravitaatiovakio on yksinkertaisesti yksi perusvakioista, kun taas protonin massa on hyvin pieni luku, ${\sqrt {N}}$ ^[3] Itse asiassa luku N kuvaa gravitaatioon liittyvän sidosenergian osuutta protonin lepomassasta.^[3]

Planckin yksiköt ja fysiikan perusyhtälöt

Eri dimensiota olevia fysikaalisia suureita, kuten pituutta ja aikaa, ei voida suoraan verrata toisiaan. Teoreettisessa fysiikassa käytetään kuitenkin usein nondimensionalisaatioksi nimitettyä menetelmää, jolla eri suureet saadaan vertailukelpoisiksi ja joka perustuu oleellisesti Planckin yksikköihin. Alla oleva taulukko osoittaa, miten Planckin järjestelmä yksinkertaistaa monia fysiikan perusyhtälöitä verrattuna niiden tavanomaisiin, esimerkiksi SI-yksiköissä esitettäviin muotoihin.

Planckin yksiköillä yksinkertaistettuja fysiikan yhtälöitä
	Tavanomainen muoto	Nondimensionalisoitu muoto
Newtonin gravitaatiolaki	$F=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}$	$F=-{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}$
Einsteinin kenttäyhtälöt yleisessä suhteellisuusteoriassa	${G_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}\$	${G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }}\$
Massan ja energian ekvivalenssi suppeassa suhteellisuusteoriassa	${E=mc^{2}}\$	${E=m}\$
Lämpöenergia hiukkasta ja vapausastetta kohti	${E={\frac {k_{B}T}{2}}}\$	${E={\frac {T}{2}}}\$
Boltzmannin lauseke entropialle	${S=k_{B}\ln \Omega }\$	${S=\ln \Omega }\$
Planckin relaatio energian ja kulmataajuuden välillä	${E=\hbar \omega }\$	${E=\omega }\$
Mustan kappaleen säteilyä koskeva Planckin laki	$I(\omega ,T)={\frac {\hbar \omega ^{3}}{4\pi ^{3}c^{2}}}~{\frac {1}{e^{\frac {\hbar \omega }{k_{B}T}}-1}}$	$I(\omega ,T)={\frac {\omega ^{3}}{4\pi ^{3}}}~{\frac {1}{e^{\omega /T}-1}}$
Stefanin-Boltzmannin vakio σ (määritelmä)	$\sigma ={\frac {\pi ^{2}k_{B}^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}$	$\ \sigma =\pi ^{2}/60$
Bekensteinin–Hawkingin lauseke mustan aukon entropialle^[4]	$S_{BH}={\frac {A_{BH}k_{B}c^{3}}{4G\hbar }}={\frac {4\pi Gk_{B}m_{BH}^{2}}{\hbar c}}$	$S_{BH}=A_{BH}/4=4\pi m_{BH}^{2}$
Schrödingerin yhtälö	$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\dot {\psi }}(\mathbf {r} ,t)$	$-{\frac {1}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=i{\dot {\psi }}(\mathbf {r} ,t)$
Schrödingerin yhtälö Hamiltonin operaattorin avulla	$H\left\|\psi _{t}\right\rangle =i\hbar \partial \left\|\psi _{t}\right\rangle /\partial t$	$H\left\|\psi _{t}\right\rangle =i\partial \left\|\psi _{t}\right\rangle /\partial t$
Diracin yhtälön kovariantti muoto	$\ (\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-imc)\psi =0$	$\ (\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-im)\psi =0$

Sähköyksiköt

Planckin esittämässä muodossa yksikköjärjestelmä ei sisältänyt sähkösuureiden yksiköitä.^[5] Myöhemmin sille on esitetty laajennuksia, joissa joko Coulombin vakiolle $k_{\text{e}}={\frac {1}{4\pi \epsilon }}$ ^[6]^[5] tai sähkövakiolle eli tyhjiön permittiivisyydelle $\varepsilon _{0}$ ^[7] on annettu arvo 1. Edellisessä tapauksessa sähkövarauksen yksiköksi saadaan

q_{\text{P}}={\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}\hbar c}}\approx 1.875546\times 10^{-18}{\text{ C}}\approx 11.7\ e

,

jälkimmäisessä

q'_{\text{P}}={\sqrt {\varepsilon _{0}\hbar c}}\approx 5.290818\times 10^{-19}{\text{ C}}\approx 3.3\ e

.

Kun Coulombin vakiolle on annettu arvo 1, on Planckin varaus 11,707 kertaa alkeisvarauksen suuruinen, mikä luku on sama kuin lukuarvo 11,70, mikä on sama kuin atomifysiikassa tärkeän hienorakennevakion $\alpha$ neliöjuuren käänteisarvo. Tällöin muille sähkösuureille saadaan seuraavat yksiköt:

Suure	Yksikkö	Lauseke	Suuruus SI-yksikköinä
Sähkövirta	Planckin sähkövirta	$I_{P}={\frac {q_{P}}{t_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{6}k_{\text{e}}}{G}}}\;$	3,479 · 10²⁵ A
Jännite	Planckin jännite	$V_{P}={\frac {E_{P}}{q_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{4}}{Gk_{\text{e}}}}}\;$	1,0432 · 10²⁷ V
Resistanssi, impedanssi	Planckin impedanssi	$Z_{P}={\frac {V_{P}}{I_{P}}}={\frac {1}{k_{\text{e}}c}}={\frac {Z_{0}}{4\pi }}\;$	29,979 245 8 Ω
Kapasitanssi	Planckin kapasitanssi	$C_{P}={\frac {Q_{P}}{V_{P}}}={\frac {1}{k_{t}ext{e}}}{\sqrt {\frac {G\hbar }{c^{3}}}}\;$	1,7949 · 10^-45F
Magneettivuo	Planckin magneettivuo	$A_{P}=V_{P}t_{P}={\sqrt {\frac {\hbar k_{t}ext{e}}{c}}}\;$	5,62 · 10^-17 Wb

Suuruusluokat

Vain muutamat Planckin yksiköt ovat suuruudeltaan lähellä joitakin arkielämästäkin tuttuja vastaavien suureiden arvoja. Tällaisia ovat:

1 Planckin massa on noin 22 mikrogrammaa, suunnilleen tomuhiukkasen massa^[5]
1 Planckin liikemäärä on noin 6,5 kg m/s
1 Planckin energia on noin miljardi joulea tai 500 kilowattituntia.

Suurin osa Planckin yksiköistä kuitenkin on useita suuruusluokkia liian suuria tai liian pieniä mihinkään käytännön tarkoituksiin, minkä vuoksi Planckin järjestelmä soveltuu käytettäväksi ainoastaan teoreettisessa fysiikassa. Itse asiassa monien suureiden Planckin yksiköt vastaavat kyseisen suureen pienintä tai suurinta mahdollista tai nykyisen fysiikan mukaan mielekästä määrää. Esimerkiksi:

Nopeuden Planckin yksikkö on valonnopeus, joka suhteellisuusteorian mukaan on suurin mahdollinen signaalinopeus ^[8]
Nykyiset kosmologiset teoriat voivat kuvata vain sitä, mikä tapahtui Planckin epookin jälkeen, jolloin maailmankaikkeus oli yhden Planckin ajan ikäinen ja läpimitaltaan Planckin pituuden kokoinen ja sen lämpötila oli Planckin lämpötila. Sen tutkiminen, mitä tätä ennen tapahtui, edellyttäisi kvanttigravitaatiota koskevaa teoriaa, joka yhdistäisi kvanttiteorian ja yleisen suhteellisuusteorian, mutta sellaista teoriaa ei vielä ole.

Myöhemmin Moisey Markov on päätellyt, että Planckin massa on alkeishiukkasten massan teoreettinen yläraja, kun taas Planckin tiheys on aineen suurin mahdollinen tiheys. Stephen Hawkingin mukaan Planckin massa on myös mustan aukon massan alaraja, kun taas Planckin lämpötila on Andrei Saharovin mukaan korkein mahdollinen lämpötila.^[5] Planckin lämpötilassa kaikki fysiikan tuntemat symmetriat rikkoutuisivat ja kaikki perusvuorovaikutukset yhdistyisivät yhdeksi voimaksi.

Nykyisen maailmankaikkeuden koko Planckin yksiköissä on erittäin suuri, kuten seuraava taulukko osoittaa:

Nykyinen maailmankaikkeus Planckin yksiköissä.
Ominaisuus	Likimääräinen lukuarvo Planckin yksiköissä	SI-yksiköissä
Ikä	8,0 · 10⁶⁰ t_P	4,3 · 10¹⁷ s
Näkyvän maailmankaikkeuden läpimitta	5.4 · 10⁶¹ l_P	8.7 · 10²⁶ m
Näkyvän maailmankaikkeuden massa	noin 10⁶⁰ m_P	3 · 10⁵² kg (vain tähdet luettuina) (10⁸⁰ protonia, mitä joskus sanotaan Eddingtonin luvuksi)
Kosmisen taustasäteilyn lämpötila	1,9 · 10⁻³² T_P	2,725 K

Se seikka, että näistä luvuista monet ovat lähellä samaa suuruusluokkaa 10⁶⁰, on mahdollisesti pelkkä yhteensattuma mutta on myös antanut muutamille teoreetikoille kuten Paul Diracille ja Arthur Stanley Eddingtonille aiheen kehitellä vaihtoehtoisia fysikaalisia teorioita. Tällaiset teoriat tunnetaan Diracin suurten lukujen hypoteesin nimellä, mutta valtaosa fyysikoita on hylännyt ne nimittäen niitä vähättelevästi numerologiaksi.

Lähteet

Viitteet

↑ Max Planck: Über irreversible Strahlungsvorgänge. (Planckin alkuperäinen tutkielma, jonka lopussa Planckin yksiköt esiteltiin ensimmäisen kerran) Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenscafte zu Berlin, 18.5.1899, nro XXV, s. 479–480. Artikkelin verkkoversio. (saksaksi)
↑ Fundamental Physical Constants from NIST
1 2 3 Scaling Mount Planck I: View from the Bottom. Physics Today, Kesäkuu 2001. doi:10.1063/1.138756 Artikkelin verkkoversio.
↑ Roger Penrose: The Road to Reality, s. 714–717. Oxford University Press, 1989.
1 2 3 4 Blackbody Radiation Physics.info. Viitattu 5.11.2025.
↑ Michael Marie Deza, Elena Deza: Encyclopedia of Distances, s. 602. Springer Science+Business Media, 2016. ISBN 978-3-662-52843-3 Teoksen verkkoversio.
↑ Eberhard Zeidler: Quantum Field Theory I: Basics in Mathematics and Physics, s. 952-953. Springer Science+Business Media, 2005. ISBN 978-3-540-34762-0 Teoksen verkkoversio.
↑ R. P. Feynman, Robert B. Leighton, M. Sands: ”15–8 Relativistic dynamics”, The Feynman Lectures on Physics. (1. nide, "Mainly mechanics, radiation, and heat") Addison-Wesley, 1963. ISBN 0738200085 Teoksen verkkoversio.

Planckin yksiköt

Planckin perusyksiköt	Planckin aika Planckin pituus Planckin massa Planckin varaus Planckin lämpötila
Planckin johdetut yksiköt	Planckin energia Planckin voima Planckin teho Planckin tiheys Planckin pinta-ala Planckin tilavuus Planckin kulmataajuus Planckin paine Planckin sähkövirta Planckin jännite Planckin impedanssi Planckin liikemäärä

[1] Max Planck: Über irreversible Strahlungsvorgänge. (Planckin alkuperäinen tutkielma, jonka lopussa Planckin yksiköt esiteltiin ensimmäisen kerran) Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenscafte zu Berlin, 18.5.1899, nro XXV, s. 479–480. Artikkelin verkkoversio. (saksaksi)

[CODATA-2] Fundamental Physical Constants from NIST

[Wilczek-3] 1 2 3 Scaling Mount Planck I: View from the Bottom. Physics Today, Kesäkuu 2001. doi:10.1063/1.138756 Artikkelin verkkoversio.

[4] Roger Penrose: The Road to Reality, s. 714–717. Oxford University Press, 1989.

[Elert-5] 1 2 3 4 Blackbody Radiation Physics.info. Viitattu 5.11.2025.

[6] Michael Marie Deza, Elena Deza: Encyclopedia of Distances, s. 602. Springer Science+Business Media, 2016. ISBN 978-3-662-52843-3 Teoksen verkkoversio.

[Zeidler-7] Eberhard Zeidler: Quantum Field Theory I: Basics in Mathematics and Physics, s. 952-953. Springer Science+Business Media, 2005. ISBN 978-3-540-34762-0 Teoksen verkkoversio.

[8] R. P. Feynman, Robert B. Leighton, M. Sands: ”15–8 Relativistic dynamics”, The Feynman Lectures on Physics. (1. nide, "Mainly mechanics, radiation, and heat") Addison-Wesley, 1963. ISBN 0738200085 Teoksen verkkoversio.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]