Hamiltonin operaattori

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Hamiltonin operaattori vastaa kvanttimekaniikassa systeemin kokonaisenergiaoperaattoria. Hamiltonin operaattori siirtää myös tilavektoria ajassa eteenpäin Schrödingerin yhtälön mukaisesti.

Klassisessa mekaniikassa Hamiltonin operaattoria vastaa Hamiltonin funktio, joka kuvaa mekaanista systeemiä paikka- ja liikemäärä­muuttujilla. Ne muodostavat perustan Hamiltonin mekaniikkana tunnetun klassisen mekaniikan uudelleen muotoilulle. Hamiltonin funktion arvo on konservatiivisen systeemin tapauksessa (eli yleensä) systeemin kokonaisenergia.

Yhtälöitä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Hamiltonin operaattori[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kvanttimekaaninen Hamiltonin operaattori muodostetaan klassisen mekaniikan Hamiltonin funktiosta korvaamalla paikka- ja liikemäärämuuttujat vastaavilla operaattoreilla. Paikkaesityksessä ne ovat \scriptstyle \hat{x}\rightarrow \vec{x} (paikkaoperaattori) ja \scriptstyle \hat{p}\rightarrow -i\hbar\nabla (liikemääräoperaattori). Hiukkaselle, jonka massa on m, Hamiltonin operaattori \scriptstyle \hat{H} voidaan kirjoittaa muodossa [1]

\hat{H} = -\frac{\hbar}{2m} \nabla^2 + V(\vec{x}),

missä siis  \scriptstyle \hbar = \frac{h}{2\pi} on redusoitu Planckin vakio,  \scriptstyle \nabla^{2} = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} gradientin pistetulo itsensä kanssa ja  \scriptstyle V(\vec{x}) potentiaalienergia.

Schrödingerin yhtälö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Hamiltonin operaattori hallitsee aaltofunktion \Psi ajanmuunnosta operoidessaan Schrödingerin yhtälössä [2] [3]

i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \hat{H}\Psi,

missä i on imaginaariyksikkö ja t aika. Näin ollen Schrödingerin yhtälö hiukkaselle, jonka massa on m, voidaan potentiaalissa \scriptstyle V(\vec{x}) esittää muodossa

i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar}{2m} \nabla^2\Psi + V(\vec{x})\Psi.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. David J. Griffths: ”2.1”, Introduction to Quantum Mechanics, 2. painos. Pearson, 2005. ISBN 0-13-191175-9. (englanniksi)
  2. A. C. Phillips: ”4.1”, Introduction to Quantum Mechanics. Wiley, 2003. ISBN 0-470-85323-9. (englanniksi)
  3. The Hamiltonian (html) (englanniksi)