Kategoriateoria

Kategoria, jossa objekteina ovat X, Y ja Z, mmorfismeina f, g ja g ∘ f ja kolmena identiteettimorfismina (jotka eivät näy kaaviossa) 1_X, 1_Y ja 1_Z.

Kategoriateoria on matematiikan osa-alue, jossa käsitellään abstraktilla tavalla matemaattisia rakenteita ja niiden välisiä suhteita. Se abstraktoi joukkoja ja funktioita.

Muiden matematiikan käsitteiden abstrahointia

Monia tärkeitä matematiikan aloja voidaan muodollisesti käsitellä kategoriateorian käsittein. Kategoriateoria suo mahdollisuuden muotoilla ja myös todistaa monet matematiikan tulokset paljon yksinkertaisemmin kuin se voitaisiin tehdä kategorioita käyttämättä.

Useimmissa sovelluksissa kategoriat ovat joukkoja ja funktorit tietynlaisia kuvauksia joukosta toiseen. Näin ei kuitenkaan ole välttämättä laita: mitä tahansa matemaattisia käsitteitä, jotka toteuttavat kategorian muodollisen määritelmän, voidaan käsitellä kategorioina ja kaikki kategoriateorian tulokset pätevät myös niille.

Kategoria

Kategorian C muodostaa kolme matemaattista oliota:

• Luokka Obj(C), jonka alkioita sanotaan objekteiksi
• Luokka Mor(C), jonka alkioita sanotaan morfismeiksi. Jokaiseen morfismiin liittyy kaksi objektia, lähtö a ja maali b.
  
• Binäärioperaattori ∘, jota sanotaan morfismien yhdistämiseksi siten, että mille tahansa kolmelle objektille a, b ja c, on hom(b, c) × hom(a, b) → hom(a, c). Morfismien f : a → b ja g : b → c muodostamalle yhdistetylle morfismille käytetään merkintää g ∘ f tai gf.

Lisäksi objektien ja morfismien edellytetään toteuttavan seuraavat ehdot:

• Liitäntälaki: Jos f : a → b, g : b → c ja h : c → d, niin h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f, ja
• Identiteetti: Jokaista objektia x kohti on olemassa sellainen morfismi 1_x : x → x, jota sanotaan identiteettimorfismiksi, että jokainen morfismi f : a → b, toteuttaa ehdot 1_b ∘ f = f = f ∘ 1_a.

Voidaan todistaa, että jokaista objektia kohti on olemassa tasan yksi identiteettimorfismi.

Esimerkkejä

Kategorian muodostat esimerkiksi:

• Joukot objekteina, niiden väliset kuvaukset morfismeina
• Algebralliset ryhmät objekteina, niiden väliset homomorfismit morfismeina
• Topologiset avaruudet objekteina, niiden väliset jatkuvat kuvaukset morfismeina
• Kategoriat itse objekteina, niiden väliset funktorit morfismeina.

Funktorit

Kategoriat itsekin ovat objekteina eräässä kategoriassa, jonka morfismeja sanotaan funktoreiksi.

Kovariantin funktorin f kategoriasta C kategoriaan D, jolle käytetään merkintää F : C → D, muodostavat:

• jokaista C:n objektia x kohti D:n objekti F(x) ja
• jokaista C:n morfismia f : x → y kohti D:n morfismi F(f) : F(x) → F(y),

jotka lisäksi toteuttavat seuraavat ehdot:

• Jokaiselle C:n objektille x pätee F(1_x) = 1_F(x);
• Kaikille morfismeille f : x → y ja g : y → z pätee F(g ∘ f) = F(g) ∘ F(f).

Lisäksi puhutaan kontravarianteista funktoreista F: C → D. Ne määritellään muutoin samoin kuin kovariantitkin funktorit, paitsi että morfismit on "käännetty toisin päin". Täsmällisemmin sanottuna jokainen C:n morfismi f : x → y on liitettävä johonkin D:n morfismiin F(f) : F(y) → F(x).

Sovelluksia

Kategoriat esiintyvät nykyään useimmilla matematiikan aloilla, teoreettisessa tietojenkäsittelytieteessä ja matemaattisessa fysiikassa vektoriavaruuksien yhteydessä. Kategoriat esitteli ensimmäisinä Samuel Eilenberg ja Saunders Mac Lane vuosina 1942–1945 algebrallisen topologian yhteydessä.