Kategoriateoria
Kategoriateoria on matematiikan osa-alue, jossa käsitellään abstraktilla tavalla matemaattisia rakenteita ja niiden välisiä suhteita. Se abstrahoi joukkoja ja funktioita.
Muiden matematiikan käsitteiden abstrahointia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Monia tärkeitä matematiikan aloja voidaan muodollisesti käsitellä kategoriateorian käsittein. Kategoriateoria suo mahdollisuuden muotoilla ja myös todistaa monet matematiikan tulokset paljon yksinkertaisemmin kuin se voitaisiin tehdä kategorioita käyttämättä.[1]
Useimmissa sovelluksissa kategoriat ovat joukkoja ja funktorit tietynlaisia kuvauksia joukosta toiseen. Näin ei kuitenkaan ole välttämättä laita: mitä tahansa matemaattisia käsitteitä, jotka toteuttavat kategorian muodollisen määritelmän, voidaan käsitellä kategorioina ja kaikki kategoriateorian tulokset pätevät myös niille.
Kategoria[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Kategorian C muodostaa kolme matemaattista oliota:
- Luokka Obj(C), jonka alkioita sanotaan objekteiksi
- Luokka Mor(C), jonka alkioita sanotaan morfismeiksi. Jokaiseen morfismiin liittyy kaksi objektia, lähtö a ja maali b.
- Binäärioperaattori ∘, jota sanotaan morfismien yhdistämiseksi siten, että mille tahansa kolmelle objektille a, b ja c, on hom(b, c) × hom(a, b) → hom(a, c). Morfismien f : a → b ja g : b → c muodostamalle yhdistetylle morfismille käytetään merkintää g ∘ f tai gf.
Lisäksi objektien ja morfismien edellytetään toteuttavan seuraavat ehdot:
- Liitäntälaki: Jos f : a → b, g : b → c ja h : c → d, niin h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f, ja
- Identiteetti: Jokaista objektia x kohti on olemassa sellainen morfismi 1x : x → x, jota sanotaan identiteettimorfismiksi, että jokainen morfismi f : a → b, toteuttaa ehdot 1b ∘ f = f = f ∘ 1a.[2]
Voidaan todistaa, että jokaista objektia kohti on olemassa tasan yksi identiteettimorfismi.
Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Kategorian muodostavat esimerkiksi:
- Joukot objekteina, niiden väliset kuvaukset morfismeina
- Algebralliset ryhmät objekteina, niiden väliset homomorfismit morfismeina
- Topologiset avaruudet objekteina, niiden väliset jatkuvat kuvaukset morfismeina
- Kategoriat itse objekteina, niiden väliset funktorit morfismeina.[2]
Funktorit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Kategoriat itsekin ovat objekteina eräässä kategoriassa, jonka morfismeja sanotaan funktoreiksi.
Kovariantin funktorin f kategoriasta C kategoriaan D, jolle käytetään merkintää F : C → D, muodostavat:
- jokaista C:n objektia x kohti D:n objekti F(x) ja
- jokaista C:n morfismia f : x → y kohti D:n morfismi F(f) : F(x) → F(y),
jotka lisäksi toteuttavat seuraavat ehdot:
- Jokaiselle C:n objektille x pätee F(1x) = 1F(x);
- Kaikille morfismeille f : x → y ja g : y → z pätee F(g ∘ f) = F(g) ∘ F(f).[2]
Lisäksi puhutaan kontravarianteista funktoreista F: C → D. Ne määritellään muutoin samoin kuin kovariantitkin funktorit, paitsi että morfismit on "käännetty toisin päin". Täsmällisemmin sanottuna jokainen C:n morfismi f : x → y on liitettävä johonkin D:n morfismiin F(f) : F(y) → F(x).
Sovelluksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Kategoriat esiintyvät nykyään useimmilla matematiikan aloilla, teoreettisessa tietojenkäsittelytieteessä ja matemaattisessa fysiikassa vektoriavaruuksien yhteydessä. Kategoriat esitteli ensimmäisinä Samuel Eilenberg ja Saunders Mac Lane vuosina 1942–1945 algebrallisen topologian yhteydessä.
Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
- ↑ Geroch, Robert: Mathematical Physics, s. 7. Chicago: University of Chicago Press, 1985. ISBN 0-226-28862-5. Teoksen verkkoversio.
- ↑ a b c Otavan suuri Ensyklopedia, 7. osa (Juusten–Kemal), s. 2792–2793, art. Kategoriateoria. Otava, 1978. ISBN 951-1-05070-2.
Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
- Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar: Matematiikan historia osa II, s. 874–876. Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Art House, 1994. ISBN 951-884-158-6.
