Homotopia

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Kaksi vahvennettua polkua ovat keskenään homotooppiset. Kuva havainnollistaa, kuinka ne voidaan muuntaa jatkuvalla kuvauksella toisikseen.

Topologiassa kahden jatkuvan funktion sanotaan olevan homotooppisia keskenään, jos ne voidaan muuntaa jatkuvalla kuvauksella toisikseen.[1] Homotopian avulla voidaan määrittää homotopia- ja kohomotopiaryhmiä, jotka ovat tärkeitä käsitteitä algebrallisessa topologiassa.

Matemaattinen määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kahden jatkuvan funktion ja välinen homotopia on jatkuva funktio siten, että ja . Tällöin kuvauksia ja kutsutaan homotopia ekvivalenteiksi tai vain homotooppisiksi keskenään.[1] Jos kuvauksen H toinen parametri ajatellaan olevan aikaparametri, voidaan H:ta ajatella funktiona, joka näyttää kullakin ajan hetkellä tietyn välivaiheen, kun kuvausta f ollaan muuttamassa kuvaukseksi g.

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Homotooppisuus on ekvivalenssirelaatio jatkuvien funktioiden joukossa X:ltä Y:lle.[1] Tämä homotopiarelaatio on yhteensopiva funktioiden yhdistämisen kanssa seuraavassa mielessä: Jos ja ovat homotooppisia ja ovat homotooppisia, on näiden yhdistetyt kuvaukset ja myös homotooppisia.

Jos f ja g X:ltä Y:lle ovat homotooppisia, tällöin f:n ja g:n indusoimat ryhmähomomorfismit homologiaryhmien välille ovat samat: kaikilla n (tämä on itse asiassa yksi Eilenbergin–Steenrodin aksioomista homologiateorioille). Jos erityisesti X ja Y ovat polkuyhtenäisiä, kuvaukset f ja g indusoivat saman ryhmähomomorfismin homotopiaryhmien välille: .

Tämä kuvastaa sitä miksi algebrallisessa topologiassa avaruudet joudutaan usein erottelemaan vain niiden homotopialuokkien mukaan.

Isotopia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Siinä missä homotopia vie jatkuvalla muunnoksella toisen jatkuvan kuvauksen toiselle, isotopia vie toisen upotuksen toiselle, niin että joka vaiheessa kuvaus on upotus.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Upotukset ovat isotooppisia, jos on olemassa upotus siten että , ja .

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c Väisälä, Jussi: Topologia II, s. 88–89. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.