Homotopia

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Kaksi vahvennettua polkua ovat keskenään homotooppiset. Kuva havainnollistaa, kuinka ne voidaan muuntaa jatkuvalla kuvauksella toisilleen.

Topologiassa kaksi jatkuvaa funktiota sanotaan olevan homotooppisia keskenään jos ne voidaan muuntaa jatkuvalla kuvauksella toisikseen.[1] Homotopian avulla voidaan määrittää homotopia- ja kohomotopiaryhmiä, jotka ovat tärkeitä käsitteitä algebrallisessa topologiasssa.

Matemaattinen määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kahden jatkuvan funktion f:X \to Y ja g:X \to Y välinen homotopia on jatkuva funktio H:X \times [0,1] \to Y siten, että H(x,0)=f(x) ja H(x,1)=g(x).[1] Jos kuvauksen H toinen parametri ajatellaan olevan aikaparametri, voidaan H:ta ajatella funktiona, joka näyttää kullakin ajan hetkellä tietyn välivaiheen, kun kuvausta f ollaan muuttamassa kuvaukseksi g.

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Homotopia on ekvivalenssirelaatio jatkuvien funktioiden joukossa X:ltä Y:lle.[1] Tämä homotopiarelaatio on yhteensopiva funktioiden yhdistämisen kanssa seuraavassa mielessä: Jos f_1 ja g_1:X \to Y ovat homotopioita ja f_1,g_2:Y \to Z ovat homotopioita, on näiden yhdistetyt kuvaukset f_2 \circ f_1 ja g_2 \circ g_1:X \to Y myös homotopioita.

Jos f ja g X:ltä Y:lle ovat homotopioita, tällöin f:n ja g:n indusoimat ryhmähomomorfismit ovat homologia ryhmän mielessä samat: H_n(f)=H_n(g):H_n(X)\to H_n(y) kaikilla n (tämä on itse asiassa yksi Eilenbergin–Steenrodin aksioomista homologiateorioille). Jos erityisesti X ja Y ovat polkuyhtenäisiä, antaa f:n ja g:n indusoima ryhmähomomorfismi samat homotopiaryhmät: \pi_n(f)=\pi_n(g):\pi_n(X)\to\pi_n(y).

Tämä kuvastaa sitä miksi algebrallisessa topologiassa avaruudet joudutaan usein erottelemaan vain niiden homotopialuokkien mukaan.

Isotopia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Siinä missä homotopia vie jatkuvalla muunnoksella toisen jatkuvan kuvauksen toiselle, isotopia vie toisen upotuksen toiselle, niin että joka vaiheessa kuvaus on upotus.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Upotukset f,g\colon Y\to X ovat isotooppisia jos on olemassa upotus H\colon Y\times I\to X\times I siten että H(x,t)=(h(x,t),t), H(x,0)=(f(x),0) ja H(x,1)=g(x).

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c Jussi Väisälä: Topologia II, s. 88-89. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.