Liitännäisyys

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Liitännäisyys eli assosiatiivisuus tarkoittaa laskutoimituksen riippumattomuutta sitomisjärjestyksestä. Mielivaltainen laskutoimitus \circ on liitännäinen, jos

(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)

pitää paikkansa kaikille a, b ja c. Tätä ominaisuutta kutsutaan myös termillä liitäntälaki.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Esimerkiksi kokonaislukujen ja myös reaalilukujen yhteen- ja kertolasku ovat liitännäisiä laskutoimituksia, koska (a+b) + c = a + (b+c) ja (a·b) · c = (a · (b·c) kaikilla luvuilla a, b ja c. Sitä vastoin vähennys- ja jakolaskuille ei liitäntälaki päde.

Matriisien kertolasku on liitännäinen muttei vaihdannainen. Vektorien ristitulo ei ole vaihdannainen eikä liitännäinen.

Propositiologiikan JA- ja TAI-konnektiivit ovat liitännäisiä: a \and (b \and c) = (a \and b) \and c, ja a \or (b \or c) = (a \or b) \or c. Esimerkiksi JA-konnektiivin liitännäisyys nähdään seuraavasti:

(a \and b) \and c=1 tarkalleen silloin kun a \and b=1 ja c=1_\mathbf{}, mikä taas tarkoittaa sitä, että niin a=1_\mathbf{} kuin b=1_\mathbf{} ja vielä edelleen c=1_\mathbf{}, eli kaikkien kolmen arvona on oltava 1_\mathbf{}. Vastaavasti a \and (b \and c)=1 todetaan olevan voimassa tarkalleen silloin, kun kaikkien kolmen arvona on 1_\mathbf{}. Siis molemmat laskujärjestykset tuottavat arvon 1_\mathbf{} tarkalleen silloin, jos kaikkien kolmen muuttujan arvona on 1_\mathbf{}, ja muussa tapauksessa molemmat laskujärjestykset tuottavat arvon 0_\mathbf{}.

Funktioiden yhdistely on liitännäinen: f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h.

Liitännäisyyden merkitys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Liitännäisyyden takia laskutoimitusten järjestystä ei tarvitse sitoa sulkumerkein, sillä kaikki mahdolliset järjestykset johtaisivat lopulta samaan lopputulokseen, ja siksi kirjallisuudessa jätetään yleensä sulut merkitsemättä tällaisissa tilanteissa. Esimerkiksi

 a \circ b \circ b \circ c

voi tarkoittaa laskutoimitusten suorittamista vaikka järjestyksessä

 (a \circ (b \circ b)) \circ c tai  (a \circ b) \circ (b \circ c),

mutta "oikealla" tavalla ei ole merkitystä, sillä lopputulos on sama. Tästä konkreettiseksi esimerkiksi käy yllä kuvatun laskun suorittaminen kokonaislukujen kertolaskuina niin, että

 (3 \cdot (2 \cdot 2)) \cdot 7 =(3 \cdot 4) \cdot 7 =12 \cdot 7 = 84= 6 \cdot 14 = (3\cdot 2)\cdot 14 = (3\cdot 2) \cdot (2\cdot 7).

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.