George Biddell Airy

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
George Biddell Airy
George Biddell Aory
George Biddell Aory
Syntynyt 27. heinäkuuta 1801
Alnwick, Northumberland Iso-Britannia
Kuollut 2. tammikuuta 1892 (90 vuotta)
Greenwich, Iso-Britannia
Asuinpaikka Almwick,
Colchester,
Cambridge,
Greenwich
Kansallisuus Yhdistyneen kuningaskunnan lippu Iso-Britannia
Sukujuuret englantilainen
Tutkimusala tähtitiede
Instituutti Cambridgen observatorio, Greenwichin kuninkaallinen observatorio
Tutkinnot Cambridgen yliopisto
Oppilaat Pierce Morton
Tunnetuimmat työt tähtitieteellisten havaintolaitteiden kehittäminen, planeettojen liikkeen epätasaisuus, Maan tiheyden määritys, Airyn jännitysfuntkiomenetelmä
Tunnustukset Royal Astronomical Societyn kultamitali, Copley-mitali

Sir George Biddell Airy (27. heinäkuuta 1801 Alnwick, Northumberland, Iso-Britannia2. tammikuuta 1892 Greenwich, Iso-Britannia) oli englantilainen matemaatikko ja tähtitieteilijä, Royal Societyn puheen­johtaja ja Britannian kuninkaallinen tähti­tieteilijä (Astronomer Royal) vuosina 1835–1881. Hänen moniin saavutuksiinsa kuuluu planeettojen kierto­ratojen tutkiminen, Maan keskimääräisen tiheyden mittaaminen, menetelmä kaksiulotteisten probleemien ratkaisemiseksi kiinteiden aineiden mekaniikassa, ja toimiessaan Astronomer Royalina myös Greenwichin vakiinnuttaminen nollameridiaanin paikaksi.

Elämäkerta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Airy syntyi Alnwickissa sukuun, jolla oli ollut sama nimi jo 1300-luvulla ja joka oli tuolloin asunut Kentmeressä, Westmorlandissa. Sukuhaara, johon George Biddell Airy kuului, oli kärsinyt Englannin sisällis­sodasta, muuttanut Lincolnshireeen ja ryhtynyt viljelemään maata. Airy kävi ensin alkeiskoulua Herefordissa, minkä jälkeen hän opiskeli Colchester Royal Grammar Schoolissa.[1] Ujona poikana Airy pääsi koulutoveriensa suosioon taitavalla kyvyllään rakentaa hernepyssyjä.[2]

Kolmentoista vuoden iästä lähtien Airy vietti usein pitkiä aikoja enonsa Arthur Biddellin luona Playfordissa Suffolkissa. Biddell esitteli Airyn ystävälleen Thomas Clarksonille, orja­kaupan vastustajalle, joka asui Playford Hallissa. Clarksonilla oli yli­opistollinen tutkinto matematiikassa Cambridgen yliopistosta, ja hän opetti Airylle klassisia kieliä ja myöhemmin toimitti hänet testattavaksi eräälle työ­toverilleen yliopiston Trinity Collegessa tietämyksestään matematiikassa.[3][4] Tämän perusteella hän pääsi Trinity Collegeen vuonna 1819 sizarina, mikä merkitsi, että hän selvisi alennetulla luku­kausi­maksulla, mutta toimi käytännössä apulaisena hyvittääkseen saamansa alennuksen.[5] Siellä hän suoritti loistavan uran ja hänet ilmeisesti tunnistettiin lähes välittömästi vuoden johtavaksi mieheksi. Vuonna 1822 hänet valittiin collegen johtoon, ja seuraavana vuonna hän sai senior wranglerin arvon ja sai ensimmäisen Smithin palkinnon. Vuonna 1826 hänet nimitettiin matematiikan professoriksi Thomas Thurtonin seuraajana ja vuonna 1828 tähti­tieteen professoriksi ja Cambridgen uuden observatorion johtajaksi. Vuonna 1836 hänet valittiin Royal Societyn jäseneksi ja vuonna 1840 Ruotsin kuninkaallisen tiede­akatemian ulko­maalaiseksi jäseneksi.

Tutkimus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Luonnos Airyn muotokuvaksi Popular Science Montly-lehdessä 1891

Airyn aktiivisuudesta matemaattisia ja fysikaalisia kysymyksiä käsitelleenä kirjoittajana näinä varhaisina vuosina voidaan tehdä päätelmiä sen perusteella, että jo ennen nimittämistä virkaan hän oli toimittanut kolme huomattavaa muistiota Royal Societyn julkaisuun Philosophical Transactions ja kahdeksan Cambrige Philosophical Societyyn. Cambridgen observatoriossa Airy osoittautui pian eteväksi organisoimaan asioita. Kun hän ryhtyi toimeen, laitoksen ainoa kaukoputki oli ohikulkukone, jolla hän omistautui tekemään mittauksia. Työskentelemällä järjestelmällisesti hän pystyi pitämään havaintonsa ajan tasalla ja julkaisi ne vuosittain aikalaisia hämmäs­tyttä­neellä täsmälli­syydellä. Vuonna 1833 Hugh Percy esitteli Cambridgen observatoriolle hienon 12-tuumaisen objektiivin, joka asennettiin Airyn suunnitelman mukaisesti ja hänen valvon­nassaan, joskaan se ei ollut valmis, ennen kuin hän vuonna 1835 muutti Greenwichiin.

Airyn tähän aikaan kirjoittamat tekstit käsittelevät sekä matemaattista fysiikkaa että tähtitiedettä. Edelliset käsittelevät varsinkin valoa koskeneita teoreettisia kysymyksiä, joita hänen professorina pitämiensä luentojen pohjalta heräsi ja joista monet mainitaan erityisesti hänen tutkielmassaan On the Diffraction of an Object-Glass with Circular Aperture (Diffraktiosta muodoltaan ympyrä­mäisessä objektiivissa), sekä hänen julkaisemansa täydellinen sateen­kaarta koskenut teoria. Näistä tutkimuksista Royal Society myönsi hänelle Copley-mitalin vuonna 1831. Hänen tähän aikaan kirjoitta­mistaan tähtitiedettä koskeneista teksteistä tärkeimmät olivat hänen tutkielmansa Jupiterin massan määrittä­misestä, raporttinsa British Associationille tähti­tieteen kehityksestä 1800-luvulla sekä teos On an Inequality of Long Period in the Motions of the Earth and Venus (Maan ja Venuksen liikkeen epätasaisuudesta pitkällä aikavälillä).

Yksi luku hänen tarkasta ja opettavaisesta raportistaan oli omistettu tähti­tieteen kehityksen vertailulle Englannin ja muiden maiden välillä. Vertailu oli vielä tuolloin Englannille huomattavan epä­edullinen, mutta Airyn omien töidensä ansioista epäsuhta myöhemmin pitkälti korjautui Englannin eduksi.

Planeettojen liikkeiden epätasaisuudet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aity havaitsi myös Venuksen ja Maan liikkeissä aiemmin tuntemattoman epä­tasaisuuden, mikä jossakin mielessä on hänen huomattavin saavutuksensa. Oikaistessaan lukuja Delambren planeetta­taulukoissa hän alkoi epäillä epätasaisuutta, josta niiden laatija ei ollut tietoinen. Syytä asiaan ei tarvinnut kauan etsiä: samassa ajassa, jossa Venus kiertää auringon ympäri kolme­toista kierrosta, Maa tekee niin tarkoin kahdeksan kierrosta, että erotus on vain pieni murto-osa Maan keski­määräisestä liikkeestä, ja vaikka tästä erotuksesta johtuva termi itsessään olikin hyvin pieni, voitiin integroimalla siihen liittyvä differentiaaliyhtälö johtaa luokkaa 2 200 000 oleva kerroin. Tästä Airy johtui päättelemään, että on olemassa merkittävä epä­tasaisuus, joka kestää jopa yli 240 vuotta.[6]. Asian selvittäminen oli toden­näköisesti työläin tehtävä, joka planeettateoriassa oli Airyn aikaan mennessä tehty, ja samalla ensimmäinen huomattava Englannissa tehty aurinko­kunnan kappaleiden liikkeitä koskevien taulukoiden parannus gravitaatiolain keksimisen jälkeen. Tunnustuksena tästä työstä hänelle myönnettiin vuonna 1833 Royal Astronomical Societyn kultamitali, jonka hän sai uudestaan vuonna 1846.

Astronomer Royal[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vuonna 1835 Airy nimitettiin Astronomer Royaliksi John Pondin seuraajana ja aloitti pitkän uransa Green­wichin kunin­kaalli­sessa observa­toriossa, mistä hän erityisesti tuli tunnetuksi. Siihen aikaan observatorion tila oli sellainen, että George Edenin, ensimmäinen Aucklandin jaarlin ja meriministerin mielestä se olisi yhtä hyvin voitu kokonaan sulkea, ja myös Airy myönsi sen olleen rappio­tilassa. Tavanomaisella tarmollaan hän sai kerralla uudistetuksi koko laitoksen. Hän järjesti havainto­tulokset uudestaan, sai kirjaston kelvolliseen kuntoon, asensi Sheepshanksin uuden kaukoputken ja organisoi uuden magneettisen observatorion. Vuonna 1847 sinne pystytettiin Airyn suunnittelema altatsimuutti, jolla Kuusta voitiin tehdä havaintoja aina sen ollessa näkyvissä, ei ainoastaan sen ollessa meridiaanilla. Vuonna 1848 hän keksi uudenlaisen zeniittikaukoputken. Vuoden 1850 lopulla pystytettiin suuri ohikulkukone, jonka objektiivin leveys oli 8 tuumaa (203 mm) ja polttoväli 3,5 m, ja joka on edelleen observatorion tärkein laite laatuaan. Kun sinne vuonna 1859 hankittiin uusi läpimitaltaan 330 millimetrin kaukoputki, Airy totesi päiväkirjassaan, ettei observatoriossa ollut enää yhtään Pondin aikana siellä toiminutta henkilöä eikä yhtään hänen aikanaan käytössä ollutta laitetta. Uudistukset täydensi spektro­skooppisten tutkimusten aloittaminen vuonna 1868 sekä auringonpilkkujen havainnoiminen valo­kuvaamalla vuodesta 1873 lähtien.

Nollameridiaani Greenwichissä

Suuri työ niiden havaintojen analysoimiseksi, jotka Greenwichissä oli tehty planee­toista vuosien 1750 ja 1830 välillä, oli jo käynnissä Airyn johtamana, kun hänestä tuli Astronomer Royal. Pian sen jälkeen hän aloitti työlään tehtävänsä kootakseen yhteen Green­wichissä James Bradleyn, Nathaniel Blissin, Nevil Maskelyne ja John Pondin johdolla tehdyt havainnot, mistä aiheutu­neiden kustannusten peittämiseksi hänelle myönnettiin valtion varoista suuri apu­raha. Sen tuloksena peräti 8000 Kuusta tehtyä havaintoa pelastettiin tuholta, ja vuonna 1846 ne asetettiin tähti­tieteilijöiden käytettäväksi sellaisessa muodossa, että niitä voitiin suoraan käyttää teorian ja Kuun liikkeestä tehtyjen parannettujen taulukoiden vertailemiseen.

Tästä työstään Airy sai vuonna 1848 Royal Astronomical Societyltä maine­todistuksen, ja se johti lähes välittömästi siihen, että Peter Andreas Hansen havaitsi Kuun liikkeessä kaksi uutta epätasaisuutta. Saatuaan tämän urakkansa valmiiksi ja ennen kuin ryhtyi niiden perusteella mihinkään teorettisiin tutkimuksiin Airy tiedusteli, käsittelikö kukaan muu matemaatikko samoja kysymyksiä. Ilmeni, että Hansen oli ryhtynyt niin tekemään Tanskan kuninkaan alaisuudessa, mutta kun hän ei enää kuninkaan kuoltua ollut saanut siihen tarpeeksi varoja, oli vaarana, että hänen olisi ollut kokonaan hylättävä projektinsa. Tämän vuoksi Airy anoi meri­ministeriöltä Hansenin puolesta tämän tarvitsemat määrärahat, jotka myös myönnettiin. Täten Hansenin kuuluisat taulukot, Tables de la Lune, omistettiin "Hänen Majesteettinsa, Ison-Britannian ja Irlannin kuningattaren korkealle meri­ministeriölle".

Vuonna 1851 Airy otti käyttöön uuden, Greenwichin kautta kulkevan nollameridiaanin. Tämä linja, neljäs "Greenwichin meridiaani", tuli kansainvälisesti hyväksytyksi vuonna 1884.

Neptunuksen etsintä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Spyn pilakuva George Biddell Airystä Vanity Fair -lehdessä marraskuussa 1875.

Kesäkuussa 1846 Airy aloitti kirjeen­vaihdon ranskalaisen tähti­tieilijä Urbain Le Verrierin kanssa, joka oli päätellyt, että Uranuksen kierto­liikkeen epä­säännöllisyydet johtuivat toistaiseksi havaitse­mattomasta planeetasta. Tietoisena siitä, että Cambridgen tähti­tieteilijä John Couch Adams oli esittänyt samanlaisia päätelmiä, Airy pyysi 9. kesäkuuta James Challista suorittamaan järjestelmällistä esitelmää siinä toivossa, että kunnia uuden planeetan löytämisestä tulisi briteille. Hänen kanssaan samasta kunniasta kuitenkin kilpaili berliiniläinen Johann Gottfried Galle, joka Le Verrieriltä saamiensa vihjeiden perusteella löysikin ensimmäisenä uuden planeetan, Neptunuksen.[7] Vaikka toiseksi jäänyt Airy sai osakseen solvauksia sekä englantilaisilta että ranskalaisilta[8], koska hän ei ollut reagoinut Adamsin ehdotuksiin pikaisemmin, on myös väitetty, että Adamsin asiasta antamat tiedon­annot olivat epä­selviä ja hidastelevia[7] ja edelleen, että uuden planeetan etsiminen ei kuulunut Astronomer Royalin tehtäviin.[9]

Maan keskitiheys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yksi Airyn huomattavimmista saavutuksista oli Maan keski­määräisen tiheyden määrittäminen. Vuonna 1826 hän oivalsi, että asia voitaisiin ratkaista tekemällä kokeita heilurilla sekä maan pinnalla että syvän kaivoksen pohjalla. Ensimmäisen yrityksensä hän teki samana vuonna Dolcoathin kaivoksessa Cornwallissa, mutta se epä­onnistui, koska yksi hänen heilureistaan hajosi. Toinen yritys vuonna 1828 epä­onnistui sekin, koska kaivoksessa sattui tulva, minkä jälkeen kesti useita vuosia, ennen kuin kokeen uusimiseen tarjoutui tilaisuus. Kokeet voitiin lopulta suorittaa vuonna 1854 Hartonin rotkossa lähellä South Shieldsiä. Niiden välittömänä tuloksena havaittiin, että painovoima tämän 383 metrin syvyisen kuilun pohjalla oli 1/19286 suurempi kuin maan pinnalla. Tästä hän saattoi johtaa Maan keski­määräiselle tiheydelle arvon 6,566 g/cm³.[10] Vaikka tämä arvo oli merkit­tä­västi suurempi kuin mikä aikaisemmin oli saatu toisilla menetelmillä, Airy saattoi sen perusteella, miten suurella huolelli­suudella ja täsmällisyydellä kokeensa suorittanut, pitää sitä hyvinkin kilpailu­kykyisenä verrattuina muihin, jotka ovat saaneet ainakin samaa luokkaa olevia tuloksia. Nykyisin hyväksytty arvo Maan keskimääräiselle tiheydelle on 5,5153 g/cm³.

Eetterin kulkeutumiskoe[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vedellä täytetyn kauko­putken avulla Airy suoritti vuonna 1871 kokeita sen selvittämiseksi, saiko Maa eetteriä kulkeutumaan mukanaan, minkä seurauksena valon taittuminen vedessä muuttaisi tähti­tieteellistä aberraatiota.[11] Kuten kaikki muutkin samaa oletettua ilmiötä tutkineet, hän sai negatiivisen tuloksen.

Kuun teoria[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vuonna 1872 Airy päätteli, että Kuuta koskevat teoriat voitaisiin käsitellä uudella tavalla, ja 71-vuotiaana hän ryhtyi tätä koskevaan suureen työhön. Yleinen kuvaus hänen menetelmästään julkaistiin Royal Astronomical Society'n julkaisussa Montly Notices, vol. xxxiv, No. 3. Sen muodostivat etupäässä Charles-Eugène Delaunayn saamat lopulliset arvot pituus- ja leveysasteelle sekä parallaksille, joista kuhunkin lukuun lisättiin symbolinen termi, jonka arvo oli määrättävä Kuun liikkeen perusteella.

Tässä muodosssa kysymyksen käsittely oli numeerista, ja vaikka työn määrä oli niin suuri, että se olisi voinut säikäyttää nuoren miehen, sen yksityiskohdat olivat helppoja, ja suuren osan siitä olisi voinut suorittaa kuka tahansa "laskupää".

Tulokset julkaistiin vuonna 1886 Airyn ollessa 85-vuotias. Vähän sitä ennen häntä oli huolestuttanut se, että laskuissa saattaisi olla virheitä, ja sen vuoksi hän oli vielä tarkistanut ne. Mutta hänen voimansa eivät olleet ennallaan eikä hän koskaan kyennyt tutkimaan asiaa riittävästi. Vuonna 1890 hän kertoi, että jo laskujen alkuvaiheessa oli sattunut vakava virhe, ja totesi: "Henkeni särkyi tässä työssä, enkä ole sen jälkeen koskaan halukkaasti palannut asiaan."

Tekninen mekaniikka[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jännitysfunktiomenetelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vuonna 1862 Airy esitti uuden menetelmän materiaalin palkkeihin kohdistuvan jännityksen ja rasituksen käsittelemiseksi.[12] Tätä menetelmää, jota joskus kutsutaan Airyn jännitysfunktiometodiksi', voidaan käyttää monien kaksi­ulotteisten probleemien ratkaisemiseksi kiinteän aineen mekaniikassa. Esimerkiksi H. M. Westergaard käytti sitä [13] määrittääkseen jännitys- ja rasituskentän murtumakohdan ympärillä, ja sen vuoksi menetelmä vaikutti osaltaan murtumia koskevan teorian kehittymiseen.

Tay Bridgen onnettomuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Alkuperäinen Tay Bridge pohjoisesta katsottuna
Tay Bridgen tuho

Airyltä ksyttiin neuvoja siitä, kuinka kovaan tuuleen tai kuinka korkeaan paineeseen olisi syytä varautua, kun Thomas Bouch 1870-luvulla suunnitteli Forthin vuonon ylittävää riippusiltaa rautatietä varten. Airy päätteli, että yli 10 paunan painetta neliöjalkaa kohti ei normaalisti esiintyisi, ja sen mukaisesti Bouch suunnittelikin sillan. Kovassa tuulessa kuitenkin saattaa esiintyä paljon suurempia paineita. Airy joutuikin kuulusteltavaksi, kun Tayn silta vuonna 1879 romahti, ja häntä arvosteltiin ankarasti antamansa neuvon vuoksi. Kuitenkin tuulen vaikutuksesta suuriin rakennelmiin tiedettiin vähän, ja asiaa tutkimaan asetettiin kuninkaallinen tutkimuskomissio.[14]

Perhe[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

George Biddell Airy, (John Collierin maalaama muotokuva vuodelta 1883

Heinäkuussa 1824 Airy tapasi kävelyretkellä Derbysheressä "suuren kaunottaren" Richardia Smithin (1804–1875), jota hän kosi kaksi päivää myöhemmin. He meneivät naimisiin vuonna 1830, sen jälkeen kun Airy oli saanut toimen Cambridgen observatoriossa.[7][15][16]

Airyt saivat yhdeksän lasta, joista kolme vanhinta kuoli jo lapsina. Vanhin eloon jäänyt oli Wilfrid Airy, joka suunnitteli Geroge Tomlinen observatorion Orwell Parkiin.[17][18] Wilfridin tytär oli taiteilija Anna Airy.[18]

Airy lyötiin ritariksi 17. kesäkuuta 1872.[19] Hän siirtyi eläkkeelle vuonna 1881 ja asui sen jälkeen kahden avioituneen tyttärensä kanssa Croom's Hillillä lähellä Greenwichiä. Vuonna 1891 hän kaatui ja sai sisäisiä vammoja. Suoritetun kirurgisen leikkauksen jälkeen hän eli enää muutaman päivän.

Airy, hänen vaimonsa ja kolme ennen häntä kuollutta lastaan on haudattu Pyhän Marian kirkkoon Playfordiin, Suffolkiin.[7]

Kunnianosoitukset[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Airy nimitettiin Royal Astronomical Societyn puheenjohtajaksi neljä kertaa.

Airyn mukaan on mimitetty:

  • Airy, Marsin kraatteri.[20], ja sen sisällä oleva pienempi kraatteri Airy-0, jonka sijainnin mukaan on määritelty Marsin nollameridiaani, samoin kuin Airyn teleskoopin mukaan on määritelty Maan nollameridiaani.[21]
  • Airy, kuun kraatteri.[22]
  • Airyn aaltoteoria, lineaarinen teoria gravitaatioaaltojen etenemisestä nesteen pinnalla.[23]
Käännös suomeksi
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja vieraskielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:George Biddell Airy

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. ”Sir George Biddell Airy”, Encyclopaedia Britannica. Cambdidge: Cambdidge University Press, 1911.
  2. John J. O'Connor, Edmund F. Robertson: ”George Biddell Airy”, MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews.
  3. Autobiography of Sir George Biddel Airy (Google books)
  4. Sir George Biddell Airy KCB. Playfordin kirkon esite
  5. J. Venn, J. A. Venn: Alumni Cantabrigienses. Cambridge University Press, 1922–1958.
  6. Phil. Trans. cxii. 67
  7. a b c d Oxford Dictionary of National Bibliography: George Airy
  8. George Biddell Airy, Wilfrid Airy: The Autobiography of Sir George Biddell Airy. Cambridge University Press, 1896. Teoksen verkkoversio (viitattu 16.9.2013).
  9. Oxford Dictionary of National Biography: "Adams, John Couch (1819–1892) 2004. Viitattu 15.9.2013.
  10. Airy, G. B. (1856) Philosophical Transactions of the Royal Society 146:343–355
  11. George Biddell Airy, “On the Supposed Alteration in the Amount of Astronomical Aberration of Light, Produced by the Passage of the Light through a Considerable Thickness of Refracting Medium,” Proceedings of the Royal Society of London, V20, pp. 35–39 (1871–1872).
  12. Airy, G. B. (1863) Philosophical Transactions of the Royal Society, 153:49–80
  13. Bearing Pressures and Crakcs. Journal of Applied Mechanics, {{{Vuosi}}}, nro 6.
  14. Lewis (2004) pp115–116
  15. The Female Touch. Astronomy Now, Tammikuu 1998, nro 12, s. 43-47.
  16. Porters, watchmen, and the crime of William Sayers: the non-scientific staff of the Royal Observatory, Greenwich, in Victorian times. Journal of Astronomical History and Heritage, kesäkuu 2003, nro 6. James Cook University.
  17. Goward (2005)
  18. a b Goward (2006)
  19. London Gazette, 18.6.1872.
  20. Mars Nomenclature: Crater, craters Gazetteer of Planetary Nomenclature. USGS: Astrogeology Research Program. Viitattu 16.9.2013.
  21. Oliver Morton: Mapping Mars: Science, Imagination, and the Birth of a World, s. 22–23. New York: Picador USA, 2002. ISBN 0-312-24551-3.
  22. E. E. Cocks, J. C. Cocks: Who's Who on the Moon: A Biographical Dictionary of Lunar Nomenclature. Tudor Publishers, 1995. ISBN 0-936389-27-3.
  23. Waves in oceanic and coastal waters, s. 106. Cambridge: Cambridge University Press, 2007. ISBN 0-521-86028-8.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]