Siirtofunktio

Siirtofunktio on matemaattinen esitys lineaarisen systeemin tulon ja lähdön riippuvuudesta. Siirtofunktio voidaan esittää mm. aikatasossa, Laplace-tasossa tai taajuustasossa. Usein siirtofunktiota käsitellään Laplace-tasossa, jolloin yhtälöt ovat yksinkertaisemmin käsiteltäviä.

Käyttö

Siirtofunktiota käytetään esimerkiksi elektroniikassa, optiikassa, kommunikoinnin teoriassa ja säätötekniikassa. Siirtofunktion avulla voidaan määrittää Bode-diagrammi, tehdä Fourier'n muunnos tutkittavalle systeemille, sekä tutkia esimerkiksi askelvasteen käyttäytymistä ja systeemin stabiilisuutta.

Muodostus Laplace-tasossa

Lineaarisen järjestelmän siirtofunktio Laplace-tasossa muodostetaan systeemin aikatason funktiosta Laplace-muunnoksella. Kokeellisesti siirtofunktio voidaan määrittää myös esimerkiksi askelvastekokeella.

Jos systeemin tulosignaali $x(t)$ ja lähtösignaali $y(t)$ tunnetaan, on siirtofunktio yksinkertaisimmillaan näiden Laplace-muunnoksien suhde. Yleisessä muodossa:

$G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}= \frac{b_ms^m + b_{m-1}s^{m-1} + ... + b_1s + b_0}{s^n + a_ns^n + ... + a_1s + a_0}$,

missä $n\;$ ja $m\;$ ovat vakioita, $b\;$ nimittäjän kertoimet ja $a\;$ osoittajan kertoimet. Vakio $n\;$ ilmaisee siirtofunktion kertaluvun. Viiveellisessä systeemissä siirtofunktio kerrotaan viivekertoimella $e^{-T_{d}s}\;$, missä $T_{d}\;$ on viive.

Ensimmäisen kertaluvun siirtofunktio on yksinkertaisimmillaan

$G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}= \frac{K}{\tau s + 1}$,

missä $K\;$ on vahvistus ja $\tau\;$ on aikavakio.

Toisen kertaluvun siirtofunktio voidaan kirjoittaa muodossa

$G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}= \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega s + \omega_n^2}$,

missä $\omega\;$ on systeemin kulmataajuus ja $\zeta\;$ vaimennusvakio. Toisen kertaluvun siirtofunktion omaava systeemi voidaan yksinkertaisimmillaan tehdä kahdesta sarjaan kytketystä ensimmäisen kertaluvun systeemistä.

Siirtofunktiosta voidaan siirtyä takaisin systeemiä kuvaavaan differentiaaliyhtälöön Laplace-käänteismuunnoksella.

Tulkinta

Siirtofunktion nimittäjän nollakohtia sanotaan systeemin navoiksi ja osoittajan nollakohtia nolliksi. Navat määräävät systeemin stabiilisuuden. Jos navat ovat kompleksisia, ne esiintyvät kompleksikonjugaatteina. Systeemin vasteissa ilmenee värähtelyä, jos navat ovat kompleksisia. Napaparien imaginääriosan itseisarvosta saadaan niitä vastaava värähtelyn kulmataajuus. Jos kompleksisten napojen reaaliosat ovat negatiiviset, on systeemi stabiili. Nollat eivät vaikuta systeemin stabilisuuteen.

Systeemin vahvistus jatkuvuustilassa saadaan sijoittamalla $s=0\;$. Siirtofunktiosta voidaan myös määrittää yksi tai useampi aikavakio, joka kuvaa järjestelmän hitautta.

Katso myös

• Bode-diagrammi
• Järjestelmän dynamiikka
• Impulssi- ja askelvaste
• Laplacen muunnos