Impulssi- ja askelvaste

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Signaalin käsittelyssä dynaamisen järjestelmän vaste kuvaa järjestelmän lähdön reagointia tulosignaalin muutokseen ajan funktiona.  Vasteen avulla voidaan helposti päätellä järjestelmän eri ominaisuuksia ja siksi se on hyödyllinen tapa mm. sähköisten järjestelmien suunnittelussa.

Sähkötekniikassa vastetta käytettäessä, järjestelmän lähtö Y(s)  saadaan  usein siirtofunktion avulla muodossa

Y(s) = G(s)U(s). \!\

missä U(s) on tulosignaali ja G(s) kuvaa järjestelmän siirtofunktiota.Kyseinen yhtälö on Laplace muunnettu. Systeemin testauksessa ja suunnittelussa yleisimmin käytetyt tulosignaalit  ovat impulssi- ja askelfunktio. Näiden lisäksi voidaan käyttää ramppifunktiota.



Askelvasteella tarkoitetaan järjestelmän vastetta, kun syötettävä signaali on askelfunktio. Askelfunktiolla tarkoitetaan askelmaista muutosta järjestelmän tulossa , ajanhetkellä t.

Askelfunktiona käytetään usein yksikköaskelfunktiota, jonka muutos on nollasta arvoon 1 ajanhetkellä t =0. Se määritellään yhtälöillä

u(t) = 0 \!\ , \quad t \le 0, \!\
u(t) = 1 \!\ , \quad t > 0. \!\


Yksikköaskelvasteesta voidaan nähdä systeemin stabiilissa tapauksessa nopeus ja  vaimennus. Lisäksi nähdään onko järjestelmän siirtofunktion kertaluku 1 vai suurempi .  Ensimmäisen kertaluvun järjestelmistä voidaan lisäksi määrittää aikavakio.

Askelvaste ensimmäisen, toisen ja kolmannen kertaluvun järjestelmille. Kuvasta nähdään, että korkeamman kuin ensimmäisen kertaluvun järjestelmä voi tuottaa vasteeseen värähtelyä.
Askelfunktion kuvaaja
Ensimmäisen kertaluvun järjestelmän impulssivaste

Impulssivasteella  tarkoitetaan järjestelmän vastetta, kun tuloon syötettävä signaali on yksikköimpulssi, jota kutsutaan myös Diracin deltafunktioksi. Diracin deltafunktio määritellään äärettömän korkeana ja kapeana impulssina, jonka integraalin arvo on 1.

LTI-järjestelmän (lineaarinen ja aikainvariantti-järjestelmä) ominaisuuksia ja käyttäytymistä voidaan tarkastella impulssivasteen avulla syöttämällä järjestelmään erilaisia tuloja.

Järjestelmän lähtö y(t) voidaan määrittää konvoluutio-integraalin avulla mielivaltaiselle tulosignaalille g(t) kunhan järjestelmän yksikköimpulssivaste tiedetään.

y(t) = \int_0^t g(t-\tau)\delta(\tau) \, d\tau.

Ythälössä \delta tarkoittaa järjestelmään syötettävää yksikköimpulssia.


Todellista yksikköimpulssia ei voida toteuttaa fysikaalisessa järjestelmässä. Sitä voidaan kuitenkin approksimoida lyhyellä suorakaiteella, jonka kestoaika on t ja korkeus 1/t. Mitä lyhyempi kestoaika on sitä paremmin approksimaatio vastaa matemaattisesti määriteltyä yksikköimpulssia.

Yksikköimpulssin suorakaideapprokksimaatio



Yleislähteet: