Bode-diagrammi

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Bode–diagrammin avulla kuvataan graafisesti lineaaristen, aika–invarianttien systeemien dynaamista käyttäytymistä taajuuden funktiona. Sen kehitti Hendrik Wade Bode (1905–1982) työskennellessään Bell Laboratoriesilla 1930-luvulla. Sitä käytetään erityisesti sähkötekniikassa järjestelmien ja suotimien käyttäytymisen mallintamiseen. Bode–diagrammi koostuu kahdesta yleensä logaritmiselle taajuusasteikolle piirretystä kuvaajasta, vaihevasteesta ja itseisarvovasteesta. Vaihevasteesta ilmenee esimerkiksi sähkötekniikassa järjestelmän reaktiivisten komponenttien, eli kondensaattoreiden ja kelojen, aiheuttama vaihesiirto eli järjestelmän tulosuureen ja lähtösuureen välinen viive. Vaihesiirto ilmaistaan yleensä asteina tai radiaaneina. Itseisarvovaste kuvaa systeemissä tapahtuvaa vahvistusta taajuuden funktiona, ja se esitetään yleensä desibeleissä.


Bode–diagrammia kutsutaan usein taajuusvasteeksi, jonka graafinen esitysmuoto Bode-diagrammi on.

Yleistä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Bode–diagrammi piirretään systeemistä muodostetun siirtofunktion avulla, joka esimerkiksi ensimmäisen kertaluvun systeemillä näyttää seuraavalta:


\!G(s) = \frac{K}{1+RCs}


Yhtälö kuvaa arvolla K vahvistettua alipäästösuodinta, jossa on resistanssi R ja kondensaattori C sarjassa (katso siirtofunktion muodostaminen tarkempaa selvitystä varten). Siirtofunktiosta saadaan määritettyä systeemin rajataajuus, kertaluku, vahvistus sekä kaistanleveys, jotka ilmennetään Bode–diagrammilla.


Rajataajuus (luonnollinen kulmataajuus) kuvaa systeemin itseisarvovasteessa kohtaa, jota hieman ennen itseisarvokäyrä kääntyy systeemistä riippuen 20dB/dekadi kasvavaksi tai väheneväksi ensimmäisen kertaluvun järjestelmällä. Kohdassa ω0 systeemi on vaimentunut -3dB, joka lukuarvona kuvaa √2/2 ≈ 0.707 kertaa alkuperäistä signaalin voimakkuutta. Rajataajuus ilmenee käytännössä esimerkiksi sähkötekniikassa suotimilla siten, että alipäästösuodin suodattaa rajataajuutta ylemmät taajuudet ja ylipäästösuodin suodattaa rajataajuutta alemmat taajuudet.


Systeemin kertaluku määräytyy sähköisessä järjestelmässä reaktiivisten komponenttien määrän mukaan. Jos esimerkiksi systeemissä on yksi kondensaattori ja yksi kela sarjassa, on systeemi toista kertalukua. On huomattava, että mikäli systeemin komponentit ovat rinnan, voidaan niiden ajatella olevan yksi ekvivalenttinen reaktiivinen komponentti, ja tällöin systeemi on ensimmäistä kertalukua. Yhden kertaluvun systeemi voi kääntää systeemin vaihetta enintään 1*90°, toisen kertaluvun systeemi 2*90° jne. Systeemin vahvistus laskee rajataajuuden jälkeen n*20dB/dekadi, missä n = systeemin kertaluku.


Systeemin vahvistus ilmaistaan Bode-diagrammissa desibeleinä. Vahvistus saadaan desibeleistä kertoimeksi A yhtälöllä A = 10G/20, missä G on vahvistus desibeleissä ja A on lähtö- ja tulosuureiden suhde. Kerroin A voidaan muuttaa desibeleiksi yhtälöllä G = 20log(A). Jos systeemin vahvistus on negatiivista, vaihevaste kääntyy 180°.

Bode-diagrammin piirtäminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Bode-diagrammin hahmottelu voidaan aloittaa, kun tunnetaan systeemin siirtofunktio. Siirtofunktiosta voidaan määrittää systeemin vahvistus, nollat ja navat. Bode-diagrammissa Y-akselilla on joko itseisarvo dB-asteikolla esitettynä tai vaihe lineaarisella asteikolla esitettynä. X-aksellila taas on logaritminen taajuusasteikko.

  • Vahvistus
  • Diagrammin piirtäminen aloitetaan vahvistuksen piirtämisestä. Mikäli vahvistusta ei ole, voidaan se jättää huomioimatta. Bode-diagrammin piirtämistä varten vahvistuksen arvo pitää muuttaa desibeleiksi.
  • Nollat ja navat
  • Seuraavaksi piirretään systeemin nollien eli osoittajan nollakohtien vaikutus. Nollakohta lisää vahvistusta luonnollisen kulmataajuuden ω0 (=1/t) jälkeen +20dB/dek. Napa eli nimiitäjän nollakohta puolestaan vähentää vahvistusta -20dB/dek luonnollisen kulmataajuuden jälkeen. Mikäli napoja tai nollia on useampia samassa pisteessä, vahvistuksen muutosnopeus kerrotaan samassa pisteessä olevien nollien lukumäärällä.
  • Vaihe
  • Vaihetta piirrettäessä vahvistus voidaan jättää huomioimatta, sillä se ei vaikuta vaiheeseen. Miinusmerkki vahvistuksen edessä tarkoittaa kuitenkin 180° vaihesiirtoa. Nolla nostaa vaihetta 90° siten, että vaihe kasvaa +45°/dek. Kasvu alkaa dekadin ennen luonnollista kulmataajuutta ja päättyy dekadin luonnollisen kulmataajuuden jälkeen. Mikäli useammat nollat ovat samassa pisteessä, vaiheen kasvunopeus kerrotaan samassa pisteessä olevien nollien lukumäärällä. Esimerkiksi, jos kaksi nollaa ovat samassa pisteessä vaihe kasvaa 90°/dek. Napa puolestaan laskee vaihetta 90° eli -45°/dek. Lasku alkaa, kuten nollan tapauksessakin, dekadin ennen luonnollista kulmataajuutta ja päättyy dekadin jälkeen.


Erikostapauksessa, jossa nolla tai napa ovat origossa, vahvistus muuttuu koko ajan 20dB/dek. Nollan tapauksessa se kasvaa ja navan tapauksessa laskee. Vaihe puolestaan pysyy +90°:ssa, jos nolla on origossa ja -90°:ssa, jos napa on origossa.


Esimerkki Bode-diagrammin piirtämisestä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vahvistus
Vaihe


Piirretään alla olevan siirtofunktion bode-diagrammi.


 H(s) = \frac{1+2s}{s(1+0,2s)}


Tehdään siirtofunktiolle Fourier-muunnos.


 H(jw) = \frac{1+2jw}{jw(1+0,2jw)}


Tarkastellaan perustapauksia:

  • 1+2jω
  • (1+0,2jω)-1
  • (jω)-1


Origossa sijaitseva napa aiheuttaa vahvistuksen laskun koko taajuusalueella, joten ainoastaan vahvistuskäyrän muoto tunnetaan, muttei sen sijaintia. Sijainti voidaan selvittää laskemalla vahvistus jollakin tietyllä taajuudella. Esimerkiksi kulmataajuudella ω=1rad/s saadaan vahvistukseksi 6,82dB.


Bode-diagrammi

Tämän jälkeen itse Bode-diagrammi voidaan piirtää hyödyntämällä yllä olevien kuvien vaihe- ja vahvistusvasteiden funktioita G(jω).


Bode-diagrammi

Vahvistusvara ja vaihevara[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Bode-diagrammista voidaan määrittää vahvistus - ja vaihevara, joiden avulla voidaan arvioida systeemin stabiiliutta. Vahvistusvara ilmoittaa paljonko avoimen piirin vahvistusta voi lisätä, ennen kuin suljetusta systeemistä tulee epästabiili. Vaihevara taas kertoo paljon avoimen piirin vaihesiirtoa voidan lisätä, ennen kuin systeemistä tulee epästabiili.

Vahvistusvara kertoo osaltaan epästabiiliuden suuruuden. Vaihevasteesta voidaan nähdä taajuus, jolla vaihe saavuttaa -180°. Merkitään tätä taajuutta f180. Tämän taajuuden kohdalta voidaan itseisarvovasteesta katsoa taajuuden vahvistus. Jos |f180| = 0 dB, systeemi on epästabiili. Jos |f180| < 0 dB, systeemi on stabiili. |f180|:n vahvistuksen ja vahvistuksen 0 dB erotusta kutsutaan vahvistusvaraksi.

Toinen samankaltainen stabiiliuden mitta on vaihevara. Itseisarvovasteesta voidaan nähdä taajuus, jolloin vahvistuksen arvo on 0 dB. Merkitään tätä taajuutta f0dB. Tämän taajuuden kohdalta voidaan vaihevasteesta katsoa taajuudella tapahtuva vaihesiirto. Jos f0dB:n vaihe on > -180°, systeemi on stabiili, muutoin epästabiili. f0dB:n vaiheen ja -180°:n erotusta kutsutaan vaihevaraksi.

Systeemin stabiiliutta voidaan edelleen tarkastella esimerkiksi Nyqvistin stabiiliuskriteerin avulla.

Vahvistus- ja vaihevara bode-diagrammista

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Adel S. Sedra, Kenneth C. Smith: Microelectronics Circuits 6th edition. Oxford University Press, 2011.