Laplacen muunnos

Laplace-muunnos on eräs yleisimmin käytetyistä integraalimuunnoksista. Muunnoksella on käytännön sovelluksia monilla fysiikan osa-alueilla, erityisesti elektroniikassa sekä matematiikassa todennäköisyyslaskennassa. Laplace-muunnosta voidaan käyttää myös differentiaaliyhtälöiden alkuarvotehtävien ratkaisemiseen.

Mielivaltaisen funktion f(t), joka on määritelty kaikilla t>0, Laplace-muunnos määritellään integraalina:

$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0^-}^{\infty}e^{-st}f(t)dt$,

missä $0- = \lim_{\epsilon \rightarrow +0} -\epsilon$. Joskus käytetään myös kaksipuolista muotoa:

$\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-st}f(t)dt$

Yleisessä tapauksessa muunnoksen argumentti $s$ on kompleksiluku: $s = \sigma_1 + i\sigma_2$, missä $i$ on imaginääriyksikkö ja $\sigma_1, \sigma_2 \in \mathbb{R}$. Laplace-muunnoksen käänteismuunnos tunnetaan Bromwichin integraalina. Se on kompleksinen integraali:

$f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2 \pi i} \int_{ \gamma - i\infty}^{ \gamma + i\infty} e^{st} F(s)ds$

Laplace-muunnoksen ominaisuuksia

• Laplacen muunnos on selvästi lineaarinen:

$\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s)$

• Kahden funktion konvoluution Laplace-muunnos:

$\mathcal{L}\{f(t) * g(t)\} = F(s)G(s)$

• Signaalinkäsittelyssä käytännöllinen on alku- ja loppuarvoteoreema:

$\lim_{t \rightarrow 0} f(t)= \lim_{s \rightarrow \infty} sF(s)$

$\lim_{s \rightarrow 0} sF(s)= \lim_{t \rightarrow \infty} f(t)$

• Erityisen kiintoisa on funktion derivaatan Laplace-muunnos:

$\mathcal{L}\{\frac{df}{dt}\} = s\mathcal{L}\{f(t)\}-f(0)$

Tämän ominaisuuden avulla differentiaaliyhtälö voidaan muuttaa algebralliseksi yhtälöksi, jonka ratkaiseminen on tyypillisesti paljon differentiaaliyhtälöä yksinkertaisempaa.

Aiheesta muualla

• Laplace- ja Fourier-muunnoksia online (englanniksi)
• Luettelo funktioiden Laplacen muunnoksista ja käänteismuunnoksista (englanniksi)
• Toinen luettelo eri funktioiden Laplace-muunnoksista (englanniksi)
• Laplace-muunnosten perusteet
• Lyhyt johdatus Laplace-muunnoksiin

Katso myös

• Fourier'n muunnos
• Mellinin muunnos