Laplacen muunnos

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Laplace-muunnos on eräs yleisimmin käytetyistä integraalimuunnoksista. Muunnoksella on käytännön sovelluksia monilla fysiikan osa-alueilla, erityisesti elektroniikassa sekä matematiikassa todennäköisyyslaskennassa. Laplace-muunnosta voidaan käyttää myös differentiaaliyhtälöiden alkuarvotehtävien ratkaisemiseen.[1]

Mielivaltaisen funktion f(t), joka on määritelty kaikilla t>0, Laplace-muunnos määritellään integraalina:

F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0^-}^{\infty}e^{-st}f(t)dt,


missä 0- = \lim_{\epsilon \rightarrow +0} -\epsilon.[1] Joskus käytetään myös kaksipuolista muotoa:

\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-st}f(t)dt


Yleisessä tapauksessa muunnoksen argumentti s on kompleksiluku: s = \sigma_1 + i\sigma_2, missä i on imaginääriyksikkö ja \sigma_1, \sigma_2 \in \mathbb{R}. Laplace-muunnoksen käänteismuunnos tunnetaan Bromwichin integraalina. Se on kompleksinen integraali:

f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2 \pi i} \int_{ \gamma - i\infty}^{ \gamma + i\infty} e^{st} F(s)ds


Laplace-muunnoksen ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s)


\mathcal{L}\{f(t) * g(t)\} = F(s)G(s)


  • Signaalinkäsittelyssä käytännöllinen on alku- ja loppuarvoteoreema:
\lim_{t \rightarrow 0} f(t)= \lim_{s \rightarrow \infty} sF(s)


\lim_{s \rightarrow 0} sF(s)= \lim_{t \rightarrow \infty} f(t)


  • Erityisen kiintoisa on funktion derivaatan Laplace-muunnos:
\mathcal{L}\{\frac{df}{dt}\} = s\mathcal{L}\{f(t)\}-f(0)[2]


Tämän ominaisuuden avulla differentiaaliyhtälö voidaan muuttaa algebralliseksi yhtälöksi, jonka ratkaiseminen on tyypillisesti paljon differentiaaliyhtälöä yksinkertaisempaa.

Yleensä on Laplace-muunnosta käytettäessä kätevää käyttää valmiita muunnoskaavoja, joita on taulukoitu erilaisille funktioille. Seuraavassa on keskeisimpiä:[2],[3]

Funktio Laplace-muunnos Rajoitteet
1 \frac{1}{s} s>0
e^{ax} \frac{1}{s-a} s>\max\{a,0\}
x^{n} \frac{n!}{s^{n+1}} s>0
\sin(ax) \frac{a}{s^{2}+a^{2}} s>0
\cos(ax) \frac{s}{s^{2}+a^{2}} s>0
\sinh(ax) \frac{a}{s^{2}-a^{2}} s>0
\cosh(ax) \frac{s}{s^{2}-a^{2}} s>0


Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b Kekäläinen, P.: ”3. Toisen kertaluvun lineaarinen yhtälö”, Differentiaaliyhtälöt, s. 72. Jyväskylä: Jyväskylän yliopisto, matematiikan laitos, 2000. ISBN 951-39-0810-0.
  2. a b Kekäläinen, P.: ”3. Toisen kertaluvun lineaarinen yhtälö”, Differentiaaliyhtälöt, s. 73. Jyväskylä: Jyväskylän yliopisto, matematiikan laitos, 2000. ISBN 951-39-0810-0.
  3. Valtanen, E.: ”20. Laplace-muunnokset”, Matematiikan ja fysiikan käsikirja, s. 152-153. Genessis-Kirjat Oy, 2007. ISBN 978-952-9867-28-8.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.