Laplacen muunnos

Wikipedia

Laplacen muunnos on eräs yleisimmin käytetyistä integraalimuunnoksista. Muunnoksella on käytännön sovelluksia monilla fysiikan osa-alueilla, erityisesti elektroniikassa sekä matematiikassa todennäköisyyslaskennassa. Laplacen muunnosta voidaan käyttää myös differentiaaliyhtälöiden alkuarvotehtävien ratkaisemiseen.

Mielivaltaisen funktion $f (t)$ , joka on määritelty kaikilla $t > 0$ , Laplacen muunnos määritellään integraalina

$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0^-}^{\infty}e^{-st}f(t)dt$ ,

missä $0- = \lim_{\epsilon \rightarrow +0} -\epsilon$ . Joskus käytetään myös kaksipuolista muotoa

$\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-st}f(t)dt$ .

Yleisessä tapauksessa muunnoksen argumentti $s$ on kompleksiluku: $s = σ 1 + i σ 2$ , missä $i$ on imaginääriyksikkö ja $\sigma_1, \sigma_2 \in \mathbb{R}$ . Laplacen muunnoksen käänteismuunnos tunnetaan Bromwichin integraalina. Se on kompleksinen integraali

$f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2 \pi i} \int_{ \gamma - i\infty}^{ \gamma + i\infty} e^{st} F(s)ds$

[muokkaa] Laplacen muunnoksen ominaisuuksia

Laplacen muunnos on selvästi lineaarinen

$\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s)$

Kahden funktion konvoluution Laplacen muunnos

$\mathcal{L}\{f(t) * g(t)\} = F(s)G(s)$

Signaalinkäsittelyssä käytännöllinen on alku- ja loppuarvoteoreema

$\lim_{t \rightarrow 0} f(t)= \lim_{s \rightarrow \infty} sF(s)$

$\lim_{s \rightarrow 0} sF(s)= \lim_{t \rightarrow \infty} f(t)$

Erityisen kiintoisa on funktion derivaatan Laplacen muunnos

$\mathcal{L}\{\frac{df}{dt}\} = s\mathcal{L}\{f(t)\}-f(0)$

Tämän ominaisuuden avulla differentiaaliyhtälö voidaan muuttaa algebralliseksi yhtälöksi, jonka ratkaiseminen on tyypillisesti paljon differentiaaliyhtälöä yksinkertaisempaa.