Kategoriateoria

Wikipedia
Ohjattu sivulta Funktori
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Kategoria, jossa objekteina ovat X, Y ja Z, mmorfismeina f, g ja gf ja kolmena identiteettimorfismina (jotka eivät näy kaaviossa) 1X, 1Y ja 1Z.

Kategoriateoria on matematiikan osa-alue, jossa käsitellään abstraktilla tavalla matemaattisia rakenteita ja niiden välisiä suhteita. Se abstraktoi joukkoja ja funktioita.

Muiden matematiikan käsitteiden abstrahointia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Monia tärkeitä matematiikan aloja voidaan muodollisesti käsitellä kategoriateorian käsittein. Kategoriateoria suo mahdollisuuden muotoilla ja myös todistaa monet matematiikan tulokset paljon yksinkertaisemmin kuin se voitaisiin tehdä kategorioita käyttämättä.[1]

Useimmissa sovelluksissa kategoriat ovat joukkoja ja funktorit tietynlaisia kuvauksia joukosta toiseen. Näin ei kuitenkaan ole välttämättä laita: mitä tahansa matemaattisia käsitteitä, jotka toteuttavat kategorian muodollisen määritelmän, voidaan käsitellä kategorioina ja kaikki kategoriateorian tulokset pätevät myös niille.

Kategoria[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kategorian C muodostaa kolme matemaattista oliota:

  • Luokka Obj(C), jonka alkioita sanotaan objekteiksi
  • Luokka Mor(C), jonka alkioita sanotaan morfismeiksi. Jokaiseen morfismiin liittyy kaksi objektia, lähtö a ja maali b.
  • Binäärioperaattori ∘, jota sanotaan morfismien yhdistämiseksi siten, että mille tahansa kolmelle objektille a, b ja c, on hom(b, c) × hom(a, b) → hom(a, c). Morfismien f : ab ja g : bc muodostamalle yhdistetylle morfismille käytetään merkintää gf tai gf.

Lisäksi objektien ja morfismien edellytetään toteuttavan seuraavat ehdot:

  • Liitäntälaki: Jos f : ab, g : bc ja h : cd, niin h ∘ (gf) = (hg) ∘ f, ja
  • Identiteetti: Jokaista objektia x kohti on olemassa sellainen morfismi 1x : xx, jota sanotaan identiteettimorfismiksi, että jokainen morfismi f : ab, toteuttaa ehdot 1bf = f = f ∘ 1a.[2]

Voidaan todistaa, että jokaista objektia kohti on olemassa tasan yksi identiteettimorfismi.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kategorian muodostat esimerkiksi:

Funktorit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kategoriat itsekin ovat objekteina eräässä kategoriassa, jonka morfismeja sanotaan funktoreiksi.

Kovariantin funktorin f kategoriasta C kategoriaan D, jolle käytetään merkintää F : CD, muodostavat:

  • jokaista C:n objektia x kohti D:n objekti F(x) ja
  • jokaista C:n morfismia f : xy kohti D:n morfismi F(f) : F(x) → F(y),

jotka lisäksi toteuttavat seuraavat ehdot:

  • Jokaiselle C:n objektille x pätee F(1x) = 1F(x);
  • Kaikille morfismeille f : xy ja g : yz pätee F(gf) = F(g) ∘ F(f).[2]

Lisäksi puhutaan kontravarianteista funktoreista F: CD. Ne määritellään muutoin samoin kuin kovariantitkin funktorit, paitsi että morfismit on "käännetty toisin päin". Täsmällisemmin sanottuna jokainen C:n morfismi f : xy on liitettävä johonkin D:n morfismiin F(f) : F(y) → F(x).

Sovelluksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kategoriat esiintyvät nykyään useimmilla matematiikan aloilla, teoreettisessa tietojenkäsittelytieteessä ja matemaattisessa fysiikassa vektoriavaruuksien yhteydessä. Kategoriat esitteli ensimmäisinä Samuel Eilenberg ja Saunders Mac Lane vuosina 1942–1945 algebrallisen topologian yhteydessä.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Robert Geroch: Mathematical Physics, s. 7. Chicago: University of Chicago Press, 1985. ISBN 0-226-28862-5. Teoksen verkkoversio.
  2. a b c Otavan suuri Ensyklopedia, 7. osa (Juusten - Kemal), s. 2792-2793, art. Kategoriateoria. Otava, 1978. ISBN 951-1-05070-2.