Homotopia

Kaksi vahvennettua polkua ovat keskenään homotooppiset. Kuva havainnollistaa, kuinka ne voidaan muuntaa jatkuvalla kuvauksella toisilleen.

Topologiassa kaksi jatkuvaa funktiota sanotaan olevan homotooppisia keskenään jos ne voidaan muuntaa jatkuvalla kuvauksella toisikseen. Homotopian avulla voidaan määrittää homotopia- ja kohomotopiaryhmiä, jotka ovat tärkeitä käsitteitä algebrallisessa topologiasssa.

Matemaattinen määritelmä

Kahden jatkuvan funktion $f:X \to Y$ ja $g:X \to Y$ välinen homotopia on jatkuva funktio $H:X \times [0,1] \to Y$ siten, että $H(x,0)=f(x)$ ja $H(x,1)=g(x)$. Jos kuvauksen H toinen parametri ajatellaan olevan aikaparametri, voidaan H:ta ajatella funktiona, joka näyttää kullakin ajan hetkellä tietyn välivaiheen, kun kuvausta f ollaan muuttamassa kuvaukseksi g.

Ominaisuuksia

Homotopia on ekvivalenssirelaatio jatkuvien funktioiden joukossa X:ltä Y:lle. Tämä homotopiarelaatio on yhteensopiva funktioiden yhdistämisen kanssa seuraavassa mielessä: Jos $f_1$ ja $g_1:X \to Y$ ovat homotopioita ja $f_1,g_2:Y \to Z$ ovat homotopioita, on näiden yhdistetyt kuvaukset $f_2 \circ f_1$ ja $g_2 \circ g_1:X \to Y$ myös homotopioita.

Jos f ja g X:ltä Y:lle ovat homotopioita, tällöin f:n ja g:n indusoimat ryhmähomomorfismit ovat homologia ryhmän mielessä samat: $H_n(f)=H_n(g):H_n(X)\to H_n(y)$ kaikilla n (tämä on itse asiassa yksi Eilenbergin–Steenrodin aksioomista homologiateorioille). Jos erityisesti X ja Y ovat polkuyhtenäisiä, antaa f:n ja g:n indusoima ryhmähomomorfismi samat homotopiaryhmät: $\pi_n(f)=\pi_n(g):\pi_n(X)\to\pi_n(y)$.

Tämä kuvastaa sitä miksi algebrallisessa topologiassa avaruudet joudutaan usein erottelemaan vain niiden homotopialuokkien mukaan.

Isotopia

Siinä missä homotopia vie jatkuvalla muunnoksella toisen jatkuvan kuvauksen toiselle, isotopia vie toisen upotuksen toiselle, niin että joka vaiheessa kuvaus on upotus.

Määritelmä

Upotukset $f,g\colon Y\to X$ ovat isotooppisia jos on olemassa upotus $H\colon Y\times I\to X\times I$ siten että $H(x,t)=(h(x,t),t)$, $H(x,0)=(f(x),0)$ ja $H(x,1)=g(x)$.