Eulerin identiteetti

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Eulerin identiteettiä havainnollistava kuva. Lukua e^{i\pi} vastaa kehän piste (-1,0), sillä e^{i\varphi},0\leq \varphi < 2\pi on yksikköympyrän parametrisointi kompleksitasossa.
Eksponenttifunktio e^z funktion (1 + z  / N )^N raja-arvona, kun N lähestyy ääretöntä. Animaatiossa N saa arvoja välillä 1 − 100. Kun N suurenee, (1 + i \pi /N)^N lähestyy arvoa −1.

Eulerin identiteetti on kompleksianalyysissä Eulerin lauseella saatu yhtälö

e^{i \pi} + 1 = 0 \,\!,

jossa

e\,\! on Neperin luku,
i\,\! on imaginaariyksikkö ja
\pi\,\! on pii.

Eulerin identiteettiä on kutsuttu matematiikan kauneimmaksi kaavaksi,[1]koska se sitoo toisiinsa useat nykymatematiikan tärkeät luvut: Neperin luvun, piin, imaginaariyksikön ja perusluvut 1:n ja 0:n. Yhtälössä esiintyvät myös matematiikan kolme tärkeää laskutoimitusta: yhteenlasku, kertolasku ja potenssiin korottaminen. Se yhdistää matemaattisen analyysin, geometrian ja kompleksiluvut. Kaavassa on myös yhtälöissä esiintyvä tapa kirjoittaa yhtäläisyysmerkin oikealle puolelle nolla.

Määrittäminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Eulerin lause on seuraavanlainen:

e^{ix} = \cos x + i \sin x.\,\!

Lause on pätevä kaikille reaaliluvuille x. Kulma x on radiaaneina.

Jos nyt asetetaan

x = \pi\,\!

niin

e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.\,\!


Koska

\cos \pi = -1  \, \!

ja

\sin \pi = 0,\,\!

seuraa, että

e^{i \pi} = -1,\,\!

josta saadaan Eulerin identiteetti

e^{i \pi} +1 = 0.\,\!

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Mathematics: Why the brain sees maths as beauty 13 February 2014. BBC. Viitattu 24.3.2014.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.