Topologin sinikäyrä

Topologin sinikäyrä on tason pistejoukko, jonka muodostavat suorien x = 0 ja x = 1 väliin jäävä osa funktion y = sin (1/x) kuvaajasta sekä origo. Topologisena avaruutena sillä on joukko erikoisia ominaisuuksia, joiden vuoksi sitä käytetään usein esimerkkinä oppikirjoissa.

Matemaattinen määritelmä

Topologin sinikäyrä

Topologin sinikäyrä voidaan määritellä sellaisen funktion f kuvaajana, joka saa puoliavoimen välin (0, 1] jokaisessa pisteessä x arvon $\sin {\frac {1}{x}}$ ja arvolla 0 arvon 0:

$T=\left\{\left.\left(x,\sin {\frac {1}{x}}\right)\right|x\in ]0,1]\right\}\cup \{(0,0)\}.$

Toisinaan topologin sinikäyräksi määritellään laajempi avaruus, johon kuuluvat origon lisäksi sanotun funktion kuvaajan koko origon oikealla puolella oleva osa:

$T=\left\{\left.\left(x,\sin {\frac {1}{x}}\right)\right|x>0\right\}\cup \{(0,0)\}.$

Sen topologia saadaan tason topologiasta relatiivitopologiana.

Ominaisuuksia

Kun muuttuja x lähestyy nollaa, sen käänteisluku 1/x kasvaa rajatta. Tästä sekä sinifunktion jaksollisuudesta seuraa, että funktion y = sin (1/x) nollakohtia ovat kaikki muotoa

${\frac {1}{n\pi }}$

olevat luvut, missä n on mielivaltainen kokonaisluku. Näin ollen 0 on funktion nollakohtien kasautumispiste. Funktiolla ei kuitenkaan ole raja-arvoa origossa, sillä olipa $\epsilon$ > 0 kuinka pieni positiivinen kokonaisluku tahansa, avoimella välillä $(0,\epsilon )$, ja myös välillä $(-\epsilon ,0$), funktio saa kaikki reaalilukuarvot väliltä [-1, 1], vieläpä jokaisen niistä äärettömän monta kertaa. Tämä ilmenee käyrän heilahtelujen tihenemisenä origon läheisyydessä. Koska raja-arvoa ei ole, tämä funktio ei ole myöskään jatkuva origossa.

Topologisena avaruutena topologin sinikäyrä T on yhtenäinen, mutta ei polkuyhtenäinen, sillä origoa ei voida yhdistää polulla käyrän muihin pisteisiin. T ei myöskään ole lokaalisti yhtenäinen origossa.

Topologin sinikäyrä T voidaan muodostaa lokaalisti kompaktin avaruuden kuvana jatkuvassa kuvauksessa, mutta se itse ei ole lokaalisti kompakti. Olkoon V joukko ${-1}\cup (0,1]$ ja määritellään funktio f: V -> T seuraavasti:

$f(-1)=(0,0)$

$f(x)=(x,\sin {\frac {1}{x}})$, kun $x>0$.

Tällöin joukko V on lokaalisti kompakti ja funktio on jatkuva, mutta T ei ole lokaalisti kompakti origossa.

T:n topologinen ulottuvuus on 1.

Muunnelmia

Varsovan ympyrä

Topologin sinikäyrästä on olemassa muunnelmia, joilla on muita mielenkiintoisia ominaisuuksia.

Suljettu topologin sinikäyrä voidaan määritellä lisäämällä topologin sinikäyrään sen kosketuspisteiden joukko eli pisteiden (0,-1) ja (0,1) välinen jana $\{(0,y)\mid y\in [-1,1]\}$. Se on samalla topologin sinikäyrän sulkeuma. Tämä joukko on suljettu ja rajoitettu ja näin ollen Heinen–Borelin lauseen mukaan kompakti avaruus, mutta sillä on muutoin samankaltaisia ominaisuuksia kuin topologin sinikäyrällä: se on yhtenäinen, mutta ei lokaalisti yhtenäinen eikä polkuyhtenäinen.

Laajennettu topologinen sinikäyrä määritellään lisäämällä suljettuun topologin sinikäyrään vielä pisteiden (0,1) ja (1,1) välinen jana $\{(x,1)\mid x\in [0,1]\}$. Topologisena avaruutena se on polkuyhtenäinen, mutta ei lokaalisti yhtenäinen.

Varsovan ympyrä saadaan lisäämällä suljettuun topologin sinikäyrään kaari, joka yhdistää pisteen (0, -1) pisteeseen (1, sin 1). Tämä avaruus ei ole kutistuva, vaikka sen kaikki homotopiaryhmät ovat triviaaleja.

Lähteet

• Lynn Arthur Steen, J. Arhur Seebach Jr.: Counterexamples in Topology, s. 137–138. Dover Publications, Inc., 1978 (uusintapainos 1995). ISBN 978-0-486-68735-3
• Topologist's Sine Curve Wolfram MathWorld. Viitattu 30.12.2016.