David Hilbert

Valokuva vuodelta 1912

David Hilbert (23. tammikuuta 1862 – 14. helmikuuta 1943) oli saksalainen matemaatikko ja loogikko. Häntä pidetään yhtenä 1800- ja 1900-lukujen merkityksellisimmistä matemaatikoista. Hän työskenteli laajasti matematiikan eri aloilla korjaten muun muassa Eukleideen geometrisen aksiomatisoinnin virheitä. Myöhemmin hänen työnsä pohjalta syntyi Hilbertin avaruuden käsite.

David Hilbert syntyi Königsbergissä ja opiskeli Königsbergin yliopistossa, jossa hän toimi vuodesta 1886 dosenttina ja vuodesta 1892 professorina. Vuosina 1895 – 1929 hän oli Göttingenin yliopiston matematiikan professori. Hän kuoli Göttingenissä. Hilbertin vaikutus Saksan matematiikkaan oli suuri; hänen työtovereitaan tai oppilaitaan olivat muun muassa Hermann Minkowski (1864 – 1909), Hermann Weyl (1885 – 1955), Richard Courant (1888 – 1972) ja Paul Bernays (1888 – 1977).

Hilbertin varhaisimmat työt vuosina 1885 – 1893 koskevat algebrallisten invarianttien teoriaa. Nämä ovat joidenkin muuttujien x₁,...,x_n algebrallisia funktioita, jotka säilyvät muuttumattomina tietyntyyppisissä, yleensä lineaarisissa, koordinaattitransformaatioissa. Tässä yhteydessä hän muun muassa todisti Hilbertin kantalauseen nimellä tunnetun lauseen, jonka mukaan "jokaisella kompleksikertoimisten polynomien renkaan ideaalilla on äärellinen kanta". Tällöin Hilbert sovelsi epäkonstruktiivisia todistusmetodeja, jotka antavat todistuksen jonkin annetut ehdot toteuttavan objektin olemassaololle, mutta eivät anna laskennallista menetelmää sen konstruoimiseksi. Tällaiset epäkonstruktiiviset menetelmät, joita Hilbertin aikalaiset vielä vierastivat, ovat sittemmin saaneet matematiikassa tärkeän sijan.

Vuosina 1894 – 1897 tutki algebrallisten lukujen teoriaa. Tänä kautena hän kirjoitti algebrallisten lukujen silloista tilaa selostavan laajan "Zahlbericht"-nimellä tunnetun raportin.

Vuosina 1898 – 1902 Hilbert keskittyi pääasiassa geometrian aksiomaattisten perusteiden tutkimiseen. Vuonna 1899 ilmestynyt teos "Grundlagen der Geometrie" antoi matematiikan aksiomaattiselle esittämiselle mallin, joka suuresti vaikutti kaikkien matematiikan alojen aksiomatisointiin. Tutkiessaan geometrian aksioomien riippumattomuutta Hilbert kehitti useita omalaatuisten geometristen systeemien malleja. Hänen tässä yhteydessä suorittamansa konstruktiot ovat mielenkiintoisia muissakin kuin geometrisissa yhteyksissä; hän muun muassa antoi esimerkin järjestetystä vinokunnasta ja esitti yleisen määritelmän kaksidimensioiselle monistolle.

Hilbert palautti kysymyksen geometristen aksioomien ristiriidattomuudesta aritmetiikan ristiriidattomuuteen konstruoimalla aritmeettisia malleja, joissa asetetut geometriset aksioomat toteutuvat. Tämä nosti esiin kysymyksen aritmetiikan ristiriidattomuudesta, jota Hilbert ei enää katsonut voitavan palauttaa jonkin mallin konstruoimiseen. Sen sijaan hän asetti ohjelmakseen sellaisen täysin formaalin järjestelmän luomisen, jossa päättelysäännöt ovat vain tietynmuotoisten kaavojen peräkkäin kirjoittamista koskevia sääntöjä ja jossa ristiriidattomuus merkitsee vain sitä, että annettuja kaavankirjoitussääntöjä noudattaen ei voida joutua sekä lauseeseen "p" että lauseeseen "ei-p". Hilbert yritti konstruoida sellaisen formalisoidun järjestelmän, jonka edellä selostettu formaali ristiriidattomuus olisi todistettavissa ja joka sisältäisi osanaan aritmetiikan. Tähän päämäärään pyrkiessään Hilbert suoritti merkittävää matemaattisen logiikan ja matematiikan perusteiden tutkimusta, jonka tulokset on koottu teoksiin "Grundzüge der theoretischen Logik" (Wilhelm Ackermannin kanssa 1928) ja "Grundlagen der Mathematik" (kaksi osaa, 1934 – 1939, Paul Bernaysin kanssa). Hilbertin käsitys matematiikasta sisällyksettömien kaavojen manipulointia käsittelevänä tieteenä johti vilkkaaseen matematiikan olemusta koskevaan polemiikkiin, jossa muina osapuolina olivat Bertrand Russellin ja Alfred North Whiteheadin ajatuksia kannattavat logistikot ja Luizen Egbertus Brouwerin (1881 – 1966) ajatuksia kannattavat intuitionistit. Kurt Gödel osoitti vuonna 1931, että aritmetiikan formalisoiminen Hilbertin alkuperäisen ohjelman mielessä ei ole mahdollista.

Vuosina 1902 – 1922 Hilbert tutki integraaliyhtälöiden teoriaa ja tämän sovellutuksia teoreettisen fysiikkaan. Integraaliyhtälöitä käsittelevissä artikkeleissaan Hilbert kehitti suuren määrän sellaista funktionaalianalyysin peruskäsitteistöä, jonka sitten muun muassa Erhard Schmidt (1876 – 1959) esitti yhtenäisenä abstraktina Hilbertin avaruuksien teoriana. Hilbert muun muassa otti käyttöön ortogonaalisen funktiosysteemin käsitteen ja osoitti, miten sellaista käyttäen integraalioperaattoreiden ominaisuudet ja integraaliyhtälöiden ratkaisumenetelmät palautuvat ääretöndimensioisiksi versioiksi sellaisista probleemoista (esim. toisen asten pintojen pääakseliprobleemasta), joita jo kauan oli käsitelty äärellisdimensioisessa analyyttisessa geometriassa. Richard Courantin ja Hilbertin yhdessä kirjoittama teos "Methoden der mathematischen Physik" (1924) sovelsi näitä menetelmiä fysikaalisiin probleemoihin; menetelmät osoittautuivat sittemmin erityisesti kvanttimekaniikkaan soveltuviksi.

Muista Hilbertin tuloksista merkittävimpiä olivat hänen esittämänsä lukuteoreettisen Waringin probleeman ratkaisu sekä potentiaaliteoriassa esitetyn Dirichletin periaatteen (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet) todistaminen oikeaksi sopivien ehtojen vallitessa. Viimeksi mainitun todistuksen yhteydessä Hilbert kehitteli variaatiolaskennan "suoria" menetelmiä, joissa jonkin suureen minimi etsitään välittömällä konstruktiolla käyttämällä differentiaaliyhtälöitä.

Katso myös

• Hilbertin aksioomat
• Hilbertin avaruus
• Hilbertin hotelli
• Hilbertin luokkakunta
• Hilbertin ongelmat

Lähteet

• Spectrum tietokeskus 16-osainen tietosanakirja, 3. osa, WSOY, 1984, ISBN 951-0-08296-1

Aiheesta muualla

• Blanchette, Patricia: The Frege-Hilbert Controversy The Stanford Encyclopedia of Philosophy. The Metaphysics Research Lab. Stanford University. (englanniksi)
• Zach, Richard: Hilbert's Program The Stanford Encyclopedia of Philosophy. The Metaphysics Research Lab. Stanford University. (englanniksi)

1900-luvun filosofia – Looginen empirismi

Wienin piiri: Gustav Bergmann · Rudolf Carnap · Herbert Feigl · Philipp Frank · Kurt Gödel · Hans Hahn · Victor Kraft · Karl Menger · Otto Neurath · Moritz Schlick · Friedrich Waismann
Berliinin piiri: Kurt Grelling · Carl Gustav Hempel · David Hilbert · Richard von Mises · Hans Reichenbach
Muita edustajia: Alfred J. Ayer · Eino Kaila · Ernest Nagel · Karl Popper · Louis Rougier · Alfred Tarski · Willard Van Orman Quine