Hilbertin aksioomat

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Hilbertin aksioomat ovat matemaatikko David Hilbertin vuonna 1899 julkaisema tasogeometrian aksioomajärjestelmä, joka käsittää 20 (alun perin 21) oletusta eli aksioomaa.

Aksioomat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

(H1) Jos ja ovat eri pisteitä, on olemassa yksi ja vain yksi suora, joka kulkee sekä :n että :n kautta.

(H2) Jokaiseen suoraan sisältyy vähintään kaksi eri pistettä.

(H3) On olemassa kolme eri pistettä siten, että mikään suora ei kulje niiden kaikkien kautta.

• Merkitään A*B*C tarkoittamaan, että piste B sijaitsee A:n ja C:n välissä.

(H4) Jos , niin , ja ovat eri pisteitä samalla suoralla ja .

(H5) Jos ja ovat eri pisteitä, suoralla on pisteet , ja siten, että , ja .

(H6) Jos , ja ovat eri pisteitä samalla suoralla, niin yksi ja vain yksi seuraavista ehdoista on voimassa:

(H7) Olkoot suora sekä , ja pisteitä, jotka eivät ole suoralla . Tällöin on voimassa:

(i) jos ja ovat samalla puolella suoraa sekä ja ovat samalla puolelle suoraa ,niin ja ovat samalla puolella suoraa ja

(ii) jos ja ovat eri puolilla suoraa sekä ja ovat eri puolilla suoraa , niin ja ovat samalla puolilla suoraa .

(H8) Jos ja ovat eri pisteitä ja on mielivaltainen puolisuora, on olemassa yksi ja vain yksi piste siten, että .

(H9) Janojen yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio.

(H10) Jos , , ja , niin .

(H11) Olkoon kulma, puolisuora ja piste, joka ei sisälly suoraan . Silloin on olemassa yksi ja vain yksi puolisuora siten, että ja .

(H12) Kulmien yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio.

(H13) Olkoot ja kolmioita siten, että , ja . Tällöin .

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]