Pallo (geometria)

Pallo on täysin symmetrinen geometrinen muoto. Geometrisesti se on niiden pisteiden joukko, joiden etäisyys kolmiulotteisen avaruuden pisteestä on vakio. Siten pallo on ympyrän kolmiulotteinen yleistys.

Geometria

Pallo on geometriassa kaikkien niiden 3-ulotteisen avaruuden pisteiden joukko, joiden etäisyys annetusta pisteestä on tietty vakio.

Pallo voi tarkoittaa myös pallopinnan rajoittamaa kappaletta, josta nykyään käytetään myös nimitystä kuula.

Tason ja pallon leikkauskuvio on ympyrä. Tason kulkiessa pallon keskipisteen kautta muodostuu isoympyrä. Muita leikkausympyröitä, joiden säde on pallon sädettä lyhyempi, nimitetään pikkuympyröiksi. Lyhin reitti kahden pallon pinnalla olevan pisteen kautta kulkee pitkin ko. pisteiden kautta kulkevaa isoympyrää.

Pallon pinta-ala $A\,$ saadaan kaavasta

$\displaystyle A=4\pi r^{2}$, missä $r$ on pallon säde.

Pallon tilavuus $V\,$ saadaan kaavasta

$V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}$.

Jos pallon halkaisija $d$ ja ympärysmitta $p$ tunnetaan, saadaan sen pinta-ala (ilman lukua $\pi$) kaavasta:

$A=pd$

ja tilavuus kaavasta

$V={\frac {pd^{2}}{6}}$.

Pallo on kaikista suljetuista pinnoista se, joka tiettyyn pinta-alaan nähden sulkee sisäänsä suurimman mahdollisen tilavuuden.

Jos $A$ on suljetun pinnan pinta-ala ja $V$ sen sisäänsä sulkema tilavuus, niin:

${\frac {A^{3}}{V^{2}}}\geq 36\pi$.

Yhtäsuuruus pätee silloin ja vain silloin, kun em. suljettu pinta on pallon muotoinen.

Esimerkiksi kuutiolle, jonka särmän pituus on $a$:

$A=6a^{2}$ ja

$V=a^{3}$, joten

${\frac {A^{3}}{V^{2}}}={\frac {(6a^{2})^{3}}{(a^{3})^{2}}}={\frac {216a^{6}}{a^{6}}}=216=36\cdot 6>36\pi$

Origokeskisen pallon, jonka säde on $r\,$, yhtälö suorakulmaisessa eli karteesisessa koordinaatistossa on:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\,$.

Pallon säde $r\,$ saadaan kaavasta

$r={\sqrt[{3}]{\frac {3V}{4\pi }}}$.

Topologia

Suljettu pallo (x-keskinen ja r-säteinen) on joukko
${\bar {B}}(a;r)={\bar {B}}^{n}(x;r):=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:||x-y||\leq r\}$, $x\in \mathbb {R} ^{n}$ ja $r>0\,\!$.

Avoin pallo (x-keskinen ja r-säteinen) on joukko
$B(x;r)=B^{n}(x;r):=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:||x-y||<r\}$, $x\in \mathbb {R} ^{n}$ ja $r>0\,\!$.

Kirjallisuutta

• Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria. Espoo: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6.

Aiheesta muualla

• Opetus TV: Pallo
• Pallon tilavuuslaskuri