Parilliset ja parittomat funktiot

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa parilliset ja parittomat funktiot ovat funktioita, jotka toteuttavat tietyt symmetrian ehdot. Ne ovat tärkeitä monilla matemaattisen analyysin aloilla, erityisesti potenssisarjojen ja Fourier'n sarjojen teoriassa. Parilliset ja parittomat funktiot ovat saaneet nimensä potenssifunktioiden eksponentin parillisuuden perusteella: potenssifunktio f(x) = xn on parillinen, jos n on parillinen, ja pariton, jos n on pariton. Useimmat funktiot eivät ole parillisia tai parittomia.

Parilliset funktiot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

ƒ(x) = x2 on esimerkki parillisesta funktiosta.

Olkoon funktio, joka saa reaalilukuarvoja. Silloin Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): f on parillinen, jos funktio saa saman arvon luvulla Jäsentäminen epäonnistui (Conversion error. Server ("https://fi.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): x ja sen vastaluvulla Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): -x :

Jäsentäminen epäonnistui (Conversion error. Server ("https://fi.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f(x)=f(-x).\,}

Tämän vuoksi parillisen funktion kuvaaja on peilikuva-symmetrinen y-akselin suhteen eli yhtä kaukana y-akselista olevissa kohdissa funktio saa saman arvon.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Potenssifunktiot, joilla on parillinen aste, ovat parillisia funktioita. Näitä ovat muun muassa Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle x^2, x^4, x^6,... } jne. Jos esimerkiksi Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): f(x)=x^{2} , voi tämän perustella kertolaskun ominaisuuksilla:

Jäsentäminen epäonnistui (Conversion error. Server ("https://fi.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f(-x)=(-x)^{2}=(-x)(-x)=(-1)x(-1)x=(-1)^{2}x^{2}=x^{2}=f(x)} .

Erikoisfunktioissa on joitakin parillisia funktioita. Jos meritään itseisarvofunktiota Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): f(x)=|x| , voi parillisuuden perustella itseisarvon määritelmän avulla:

Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle f(-x)=|-x|=|x|=x=f(x)} .

Trigonometriassa kosinin arvo on yksikköympyrän määritelmän mukaan sama sekä positiivisella että negatiivisella kulmalla. Tällöin voidaan merkitä:

.

Muita parillisia funktioita ovat muun muassa hyperbolinen kosini Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \cosh x ja vakiofunktio.

Parittomat funktiot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

ƒ(x) = x3 on esimerkki parittomasta funktiosta.

Olkoon Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): f reaalinen funktio. Silloin Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): f on pariton, jos seuraava yhtälö pätee kaikille funktion Jäsentäminen epäonnistui (Conversion error. Server ("https://fi.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): f määrittelyjoukon alkioille Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): x :

Jäsentäminen epäonnistui (Conversion error. Server ("https://fi.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle -f(x)=f(-x)\,}

tai

Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle f(x) = -f(-x). \,}

Geometrisesti parittoman funktion kuvaaja on piste-symmetrinen origon suhteen eli yhtä kaukana origosta olevissa pisteissä funktio saa arvoikseen vastaluvut.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Potenssifunktiot, joilla on pariton aste, ovat parittomia funktioita. Näitä ovat muun muassa Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle x, x^3, x^5,... } jne. Jos esimerkiksi Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle f(x)=x^3} , voi tämän perustella kertolaskun ominaisuuksilla:

.

Trigonometriassa sinin arvot ovat yksikköympyrän määritelmän mukaan vastaluvut positiivisella ja negatiivisella kulmalla. Tällöin voidaan merkitä:

Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle f(-x) = \sin (-x) = - \sin x = -f(x)} .

Muita parittomia funktioita ovat muun muassa etumerkkifunktio, tangentti , hyperbolinen sini Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \sinh x} ja virhefunktio Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \mbox {erf} \ x} .

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

ƒ(x) = x3 + 1 ei ole parillinen eikä pariton.

Parillinen tai pariton funktio ei ole välttämättä derivoituva tai jatkuva. Parillinen funktio ei ole monotoninen paitsi vakiofunktio. Ainoa funktio, joka on sekä parillinen että pariton, on vakiofunktio, joka antaa aina arvoksi 0. (Siis Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle f(x) = 0} kaikilla Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): x .) Pariton funktio sitä vastoin voi olla monotoninen.

Säilyminen peruslaskutoimituksissa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktioiden summa on parillinen, jos molemmat funktiot ovat parillisia. Summa on pariton, jos funktiot ovat vastaavasti parittomia. Jos summassa on sekä parillinen että pariton funktio, ei tuloksesta voida tehdä päätelmiä. Tästä on poikkeuksena summa nollafunktion kanssa, jolloin funktion parillisuus tai parittomuus säilyy.

Funktio kertominen vakiolla säilyttää funktion parillisuuden tai parittomuuden. Sillä ei ole lopputulokseen vaikutusta, onko vakio parillinen tai pariton luku.

Funktioiden tulo on parillinen, jos tekijäfunktiot ovat molemmat parillisia tai parittomia. Tulo on pariton, jos tekijäfunktioista toinen on parillinen ja toinen pariton. Osamäärän tulos määräytyy vastaavasti.

Funktion pakottaminen parilliseksi tai parittomaksi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jatkuvasta funktiosta Jäsentäminen epäonnistui (Conversion error. Server ("https://fi.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): f voidaan muodostaa uusi funktio Jäsentäminen epäonnistui (Conversion error. Server ("https://fi.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): g , joka on parillinen:

Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}} .

Esimerkiksi Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle f(x)=x^2-x} ei ole parillinen tai pariton funktio, mutta

Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle g(x)=\frac {(x^2-x)+((-x)^2 - (-x))}{2} = \frac {x^2 - x + x^2 + x}{2} = \frac {2x^2}{2}=x^2}

on parillinen.

Jatkuvasta funktiosta Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): f voidaan muodostaa uusi funktio Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): h , joka on pariton:

.

Esimerkiksi Jäsentäminen epäonnistui (Conversion error. Server ("https://fi.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f(x)=x^{2}-x} ja siitä tulee nyt

Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle h(x)=\frac {(x^2-x)-((-x)^2 - (-x))}{2} = \frac {x^2 - x - (x^2 + x)}{2} = \frac {x^2 - x - x^2 - x}{2} = \frac {-2x}{2} = -x} ,

joka on pariton.

Edellisten parillisen Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): g ja parittoman Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): h funktion summa on alkuperäinen funktio Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): f :

Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle g(x) + h(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2} + \frac{f(x)-f(-x)}{2} = \frac{f(x)}{2}+\frac{f(-x)}{2}+\frac{f(x)}{2}-\frac{f(-x)}{2} = \frac{f(x)}{2}+\frac{f(x)}{2}=f(x)} .

Edellinen esimerkki antaa

Jäsentäminen epäonnistui (Conversion error. Server ("https://fi.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f(x)=g(x)+h(x)=x^{2}+(-x)=x^{2}-x} ,

kuten luvattiin.

Yhdistetyn funktion osana[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kahden funktion Jäsentäminen epäonnistui (Conversion error. Server ("https://fi.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): f ja Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): g yhdistetty funktio Jäsentäminen epäonnistui (Conversion error. Server ("https://fi.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f\circ g} voi olla parillinen, pariton tai ei kumpaakaan. Jos yhdistettävät funktiot ovat molemmat parillisia, on yhdistetty funktio myös parillinen. Parittomilla funktioilla tulos on pariton. Parillisen ja parittoman funktion yhdistetty funktio on parillinen. Parillinen funktio dominoi tulosta niin voimakkaasti, että jopa parillisen ja minkä tahansa jatkuvan funktion yhdistetty funktio on parillinen.

Derivaatta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Parillisen funktion derivaatta on pariton ja parittoman funktion derivaatta on parillinen. Polynomeilla tämä havaitaan asteluvun muutoksena, kun parillinen aste alenee parittomaksi ja pariton aste alenee parittomaksi.

Integraali[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jatkuvan parittoman funktion määrätty integraali välillä, jossa integraalirajat Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle -a} ja Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): a sijaitsevat, on nolla:

Jäsentäminen epäonnistui (Conversion error. Server ("https://fi.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int _{-a}^{a}f(x)dx=0} .

Jatkuvan parillisen funktion määrätty integraali välillä, jossa integraalirajat Jäsentäminen epäonnistui (Conversion error. Server ("https://fi.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle -a} ja Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): a sijaitsevat, on arvoltaan kaksinkertainen arvoon, joka saadaan integroimalla yli välin 0:sta a:han:

Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x) dx= 2 \int_{0}^{a} f(x) dx} .