Hyperbolinen funktio

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Hyperbolisten funktioiden kuvaajat

Hyperboliset funktiot ovat eksponenttifunktion avulla määriteltyjä matemaattisia funktioita, jotka useilta ominaisuuksiltaan muistuttavat trigonometrisia funktioita.

Määritelmät[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Hyperbolinen sini määritellään eksponenttifunktion avulla seuraavasti:

\sinh x = \frac{1}{2} \left( e^x - e^{-x} \right)

Hyperbolinen kosini, joka tunnetaan myös ketjukäyränä, on vastaavasti:

\cosh x = \frac{1}{2} \left( e^x + e^{-x} \right)

Näiden suhde on hyperbolinen tangentti

\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{\left( e^x - e^{-x} \right)}{\left( e^x + e^{-x} \right)}

Hyperbolinen kotangentti, sekantti ja kosekantti määritellään näiden avulla samalla tavalla kuin trigonometriset vastineensa:

\coth t = \frac{1}{\tanh t} = \frac{\cosh t}{\sinh t}
\operatorname{sech}\,t = \frac{1}{\cosh t}
\operatorname{csch}\,t = \frac{1}{\sinh t}

Muunnoskaavoja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Hyperbolisten funktioiden muunnoskaavat muistuttavat vastaavien trigonometristen funktioiden muunnoskaavoja:

\sinh \left( -x \right) = -\sinh x
\cosh \left(-x\right) = \cosh x, koska \cosh x on parillinen funktio.
\cosh^2(x) - \sinh^2 (x) = 1\,

Hyperbolisten funktioiden käänteisfunktiot ovat areafunktioita.

Hyperboliset funktiot ja yksikköhyperbeli[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Samaan tapaan kuin yksikköympyrän (x2 + y2 = 1) pisteillä (x, y) on trigonometrisiin funktioihin perustuva parametriesitys:

x = \cos t
y = \sin t,

voidaan yksikköhyperbelin (x2 - y2 = 1) pisteiden koordinaatit esittää muodossa

x = \cosh t
y = \sinh t.

Tästä johtuukin nimitys hyperboliset funktiot.

Toisin kuin trigonometriset funktiot, hyperboliset funktiot eivät kuitenkaan ole reaalilukualueessa jaksollisia.

Derivaatat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Hyperbolinen sini ja kosini ovat toistensa derivaattoja:

 \frac{d}{dx}\sinh(x) = \cosh(x) \,
 \frac{d}{dx}\cosh(x) = \sinh(x) \,

Hyperbolisen tangentin derivaatta on

 \frac{d}{dx}\tanh(x) = 1 - \tanh^2(x) = \hbox{sech}^2(x) = 1/\cosh^2(x) \,

Funktiot kompleksialueessa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sekä trigonometriset että hyperboliset funktiot voidaan määritellä myös kompleksiluvuille. Koska Eulerin kaavojen mukaan eksponenttifunktio määritellään kompleksiluvuille trigonometristen funktioiden avulla seuraavasti:

e^{i x} = \cos x + i \;\sin x
e^{-i x} = \cos x - i \;\sin x

saadaan tästä hyperbolisille funktioille lausekkeet:

\cosh ix = \frac{e^{i x} + e^{-i x}}{2} = \cos x
\sinh ix = \frac{e^{i x} - e^{-i x}}{2} = i \sin x
\tanh ix = i \tan x \,
\cosh x = \cos ix \,
\sinh x = -i \sin ix \,
\tanh x = -i \tan ix \,


Täten kompleksialueessa trigonometriset ja hyperboliset funktiot liittyvät läheisesti toisiinsa. Kompleksialueessa myös hyperboliset funktiot ovat jaksollisia: hyperbolisen sinin ja kosinin jakso on 2 \pi i, hyperbolisen tangentin  \pi i.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • GonioLab: Havainnollistamaittu trigometria