Hyperbolinen funktio

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Hyperbolisten funktioiden kuvaajat

Hyperboliset funktiot ovat eksponenttifunktion avulla määriteltyjä matemaattisia funktioita, jotka useilta ominaisuuksiltaan muistuttavat trigonometrisia funktioita. [1]

Määritelmät[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Hyperbolinen sini määritellään eksponenttifunktion avulla seuraavasti:

Hyperbolinen kosini, joka tunnetaan myös ketjukäyränä, on vastaavasti:

Näiden suhde on hyperbolinen tangentti

Hyperbolinen kotangentti, sekantti ja kosekantti määritellään näiden avulla samalla tavalla kuin trigonometriset vastineensa:

Muunnoskaavoja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Hyperbolisten funktioiden muunnoskaavat muistuttavat vastaavien trigonometristen funktioiden muunnoskaavoja:

, koska on parillinen funktio.

Hyperbolisten funktioiden käänteisfunktiot ovat areafunktioita.

Hyperboliset funktiot ja yksikköhyperbeli[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Samaan tapaan kuin yksikköympyrän (x2 + y2 = 1) pisteillä (x, y) on trigonometrisiin funktioihin perustuva parametriesitys:

,

voidaan yksikköhyperbelin (x2 - y2 = 1) pisteiden koordinaatit esittää muodossa

.

Tästä johtuukin nimitys hyperboliset funktiot.

Toisin kuin trigonometriset funktiot, hyperboliset funktiot eivät kuitenkaan ole reaalilukualueessa jaksollisia.

Derivaatat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Hyperbolinen sini ja kosini ovat toistensa derivaattoja:

Hyperbolisen tangentin derivaatta on

Funktiot kompleksialueessa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sekä trigonometriset että hyperboliset funktiot voidaan määritellä myös kompleksiluvuille. Koska Eulerin kaavojen mukaan eksponenttifunktio määritellään kompleksiluvuille trigonometristen funktioiden avulla seuraavasti:

saadaan tästä hyperbolisille funktioille lausekkeet:


Täten kompleksialueessa trigonometriset ja hyperboliset funktiot liittyvät läheisesti toisiinsa. Kompleksialueessa myös hyperboliset funktiot ovat jaksollisia: hyperbolisen sinin ja kosinin jakso on , hyperbolisen tangentin .

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 412–414 (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • GonioLab: Havainnollistamaittu trigometria