Hitausmomentti

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Vauhtipyörissä on suuri hitausmomentti, mikä tasaa koneen epätasaista käyntiä.

Hitausmomentti eli inertiamomentti (tunnus J tai I) vastaa pyörivässä liikkeessä etenemisliikkeen massaa. Hitausmomentin SI-järjestelmän mukainen yksikkö on kg·m² (kilogramma kertaa metri toiseen). Mitä suurempi kappaleen hitausmomentti on, sitä suurempi momentti vaaditaan, jotta kappale saadaan kiihtymään halutulla kulmakiihtyvyydellä.

Hitausmomentilla (tarkemmin tasopinnan hitausmomentilla) tarkoitetaan joskus lujuusopissa myös jäyhyyttä.

Matemaattinen määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Etäisyydellä r pyörimisakselista oleva pistemäisen massan m hitausmomentti on

Useista pienistä massoista koostuvassa systeemissä hitausmomentti on kaikkien yksittäisten massojen aiheuttamien hitausmomenttien summa:

Jatkuva massajakauma koostuu äärettömästä määrästä pistemäisiä massoja. Kappaleen kokonaishitausmomentti saadaan integroimalla kaikki massat kolmiulotteisen avaruuden yli:

missä on tiheysjakauma tilan yli. Koska , saadaan

Erilaisten kappaleiden hitausmomentteja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Massattoman varren päässä oleva pieni kappale: J = mr², jossa r on kohtisuora etäisyys pyörimisakselista ja m kappaleen massa
  • Tanko, joka toimii heilurina pyörimisakselin ollessa tangon toisessa päässä, hitausmomentti J = 1/3 · ml², jossa l on tangon pituus
  • Tangon, jonka pyörimisakseli on keskipisteessä, hitausmomentti J = 1/12 · ml²
  • Ympyrälevyn ja umpinaisen sylinterin hitausmomentti J = 1/2 · mr²
  • Ympyrärenkaan ja ohutseinäisen sylinterin hitausmomentti J = mr²
  • Umpinaisen pallon hitausmomentti J = 2/5 · mr²
  • Ohutseinäisen pallon hitausmomentti J = 2/3 · mr²

Hitausmomenttitensori[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tarkastellaan jäykkää kappaletta, joka koostuu :stä kappaleesta, joiden massat ovat , missä . Oletetaan, että kappale pyörii hetkellisesti kulmanopeudella jonkin kappaleeseen kiinnitetyn pisteen suhteen. Jos tämä kiinnitetty piste liikkuu suoraviivaisesti nopeudella ulkoisen tarkastelijan koordinaatistossa, on minkä tahansa massapisteen nopeus

, [1]

missä kyseisen pisteen paikkavektori kappaleen omassa koordinaatistossa. Kappaleen kineettinen energia on tällöin

. [1]

Koska ristitulon pituuden neliö voidaan kirjoittaa

,

on rotaatioenergia on tällöin

. [1]

Jaetaan kulmanopeus- ja paikkavektorit komponentteihinsa ja . Nyt rotaatioenergia kirjoitetaan muodossa

.

Kroneckerin deltan avulla vektorien komponenteille pätee , joten:

Määritellään -summan :s termi suureeksi , ts.

.

Tällöin rotaatioenergia voidaan kirjoittaa tutumpaan muotoon:

,

missä on kappaleen hitausmomentti (skalaari). Termejä on yhdeksän kappaletta ja ne voidaan sijoittaa -matriisin alkioiksi:

[1]

Matriisia kutsutaan hitausmomenttitensoriksi ja se on luonteeltaan tensori. Matriisin lävistäjäalkiot , ja ovat kappaleen hitausmomentit -, - ja -akselien suhteen.[1] Jos käytetään koordinaattien sijaan karteesisia koordinaatteja ja merkitsemällä , tensori voidaan kirjoittaa helppokäyttöisempään muotoon:

Hitausmomenttitensori on symmetrinen, ts. . Hitausmomenttitensorille pätevät samat matriisien yhteenlaskusäännöt, joten mielivaltaisen muotoisen kappaleen hitausmomenttitensori voidaan rakentaa summaamalla sen eri osien hitausmomenttitensorit. Edelleen, jos kappaleen massajakauma on jatkuva siten, että sen tiheys on , niin

,

missä on paikkavektorin osoittamassa pisteessä oleva differentiaalinen tilavuusalkio ja on kappaleen tilavuus.[1]

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c d e f Thornton, Stephen T. & Marion, Jerry B.: Classical Dynamics of Particles and Systems, 5. painos, s. 415–418. Brooks/Cole, Cengage Learning, 2008. ISBN 978-0-495-55610-7. (englanniksi)


Tämä fysiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.