Hitausmomentti

Vauhtipyörissä on suuri hitausmomentti, mikä tasaa koneen epätasaista käyntiä.

Hitausmomentti eli inertiamomentti (tunnus J tai I) vastaa pyörivässä liikkeessä etenemisliikkeen massaa. Hitausmomentin SI-järjestelmän mukainen yksikkö on kg·m² (kilogramma kertaa metri toiseen). Mitä suurempi kappaleen hitausmomentti on, sitä suurempi momentti vaaditaan, jotta kappale saadaan kiihtymään halutulla kulmakiihtyvyydellä.

Hitausmomentilla (tarkemmin tasopinnan hitausmomentilla) tarkoitetaan joskus lujuusopissa myös jäyhyyttä.

Matemaattinen määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Etäisyydellä r pyörimisakselista oleva pistemäisen massan m hitausmomentti on

J=mr^{2}.

Useista pienistä massoista koostuvassa systeemissä hitausmomentti on kaikkien yksittäisten massojen aiheuttamien hitausmomenttien summa:

J=\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}.

Jatkuva massajakauma koostuu äärettömästä määrästä pistemäisiä massoja. Kappaleen kokonaishitausmomentti saadaan integroimalla kaikki massat kolmiulotteisen avaruuden yli:

J=\int r^{2}\,dm,

missä $\scriptstyle dm$ on tiheysjakauma tilan yli. Koska $\scriptstyle m=\rho V$ , saadaan

dm=\rho \,dV.

Erilaisten kappaleiden hitausmomentteja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Massattoman varren päässä oleva pieni kappale: J = mr², jossa r on kohtisuora etäisyys pyörimisakselista ja m kappaleen massa
Tanko, joka toimii heilurina pyörimisakselin ollessa tangon toisessa päässä, hitausmomentti J = 1/3 · ml², jossa l on tangon pituus
Tangon, jonka pyörimisakseli on keskipisteessä, hitausmomentti J = 1/12 · ml²
Ympyrälevyn ja umpinaisen sylinterin hitausmomentti J = 1/2 · mr²
Ympyrärenkaan ja ohutseinäisen sylinterin hitausmomentti J = mr²
Umpinaisen pallon hitausmomentti J = 2/5 · mr²
Ohutseinäisen pallon hitausmomentti J = 2/3 · mr²

Hitausmomenttitensori[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tarkastellaan jäykkää kappaletta, joka koostuu ${\textstyle n}$ :stä kappaleesta, joiden massat ovat ${\textstyle m_{\alpha }}$ , missä ${\textstyle \alpha =1,2,3,\dotsc ,n}$ . Oletetaan, että kappale pyörii hetkellisesti kulmanopeudella ${\textstyle {\vec {\omega }}}$ jonkin kappaleeseen kiinnitetyn pisteen suhteen. Jos tämä kiinnitetty piste liikkuu suoraviivaisesti nopeudella ${\textstyle {\vec {v}}}$ ulkoisen tarkastelijan koordinaatistossa, on minkä tahansa massapisteen nopeus

${\vec {v}}_{\alpha }={\vec {v}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{\alpha }$ , ^[1]

missä ${\textstyle {\vec {r}}_{\alpha }}$ kyseisen pisteen paikkavektori kappaleen omassa koordinaatistossa. Kappaleen kineettinen energia on tällöin

$K=K_{\text{trans}}+K_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }m_{\alpha }v^{2}+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }m_{\alpha }({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{\alpha })^{2}$ . ^[1]

Koska ristitulon pituuden neliö voidaan kirjoittaa

$\left({\vec {a}}\times {\vec {b}}\right)^{2}=\left({\vec {a}}\times {\vec {b}}\right)\cdot \left({\vec {a}}\times {\vec {b}}\right)=a^{2}b^{2}-\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\right)^{2}$ ,

on rotaatioenergia on tällöin

$K_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }m_{\alpha }\left(\omega ^{2}r_{\alpha }^{2}-\left({\vec {\omega }}\cdot {\vec {r}}_{\alpha }\right)^{2}\right)$ . ^[1]

Jaetaan kulmanopeus- ja paikkavektorit komponentteihinsa ${\textstyle {\vec {\omega }}=(\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3})^{\mathbf {T} }}$ ja ${\textstyle {\vec {r}}_{\alpha }=(x_{\alpha ,1},x_{\alpha ,2},x_{\alpha ,3})^{\mathbf {T} }}$ . Nyt rotaatioenergia kirjoitetaan muodossa

$K_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }m_{\alpha }\left(\left(\sum _{i}\omega _{i}^{2}\right)\left(\sum _{k}x_{\alpha ,k}^{2}\right)-\left(\sum _{i}\omega _{i}x_{\alpha ,i}\right)\left(\sum _{j}\omega _{j}x_{\alpha ,j}\right)\right)$ .

Kroneckerin deltan avulla vektorien komponenteille pätee ${\textstyle \omega _{i}=\sum _{j}\omega _{j}\delta _{ij}}$ , joten:

${\begin{aligned}K_{\text{rot}}&={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }\sum _{i,j}m_{\alpha }\left(\omega _{i}\omega _{j}\delta _{ij}\left(\sum _{k}x_{\alpha ,k}^{2}\right)-\omega _{i}\omega _{j}x_{\alpha ,i}x_{\alpha ,j}\right)\\&={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}\omega _{i}\omega _{j}\sum _{\alpha }m_{\alpha }\left(\delta _{ij}\sum _{k}x_{\alpha ,k}^{2}-x_{\alpha ,i}x_{\alpha ,j}\right)\end{aligned}}$

Määritellään ${\textstyle \alpha }$ -summan ${\textstyle ij}$ :s termi suureeksi ${\textstyle J_{ij}}$ , ts.

$J_{ij}=\sum _{\alpha }m_{\alpha }\left(\delta _{ij}\sum _{k}x_{\alpha ,k}^{2}-x_{\alpha ,i}x_{\alpha ,j}\right)$ .

Tällöin rotaatioenergia voidaan kirjoittaa tutumpaan muotoon:

$K_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}J_{ij}\omega _{i}\omega _{j}={\frac {1}{2}}J\omega ^{2}$ ,

missä ${\textstyle J}$ on kappaleen hitausmomentti (skalaari). Termejä ${\textstyle J_{ij}}$ on yhdeksän kappaletta ja ne voidaan sijoittaa ${\textstyle 3\times 3}$ -matriisin alkioiksi:

$\{\mathbf {J} \}=\left\{{\begin{matrix}\sum _{\alpha }m_{\alpha }(x_{\alpha ,2}^{2}+x_{\alpha ,3}^{2})&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha ,1}x_{\alpha ,2}&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha ,1}x_{\alpha ,3}\\-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha ,2}x_{\alpha ,1}&\sum _{\alpha }m_{\alpha }(x_{\alpha ,1}^{2}+x_{\alpha ,3}^{2})&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha ,2}x_{\alpha ,3}\\-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha ,3}x_{\alpha ,1}&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha ,3}x_{\alpha ,2}&\sum _{\alpha }m_{\alpha }(x_{\alpha ,1}^{2}+x_{\alpha ,2}^{2})\end{matrix}}\right\}$ ^[1]

Matriisia ${\textstyle \left\{\mathbf {J} \right\}}$ kutsutaan hitausmomenttitensoriksi ja se on luonteeltaan tensori. Matriisin lävistäjäalkiot ${\textstyle J_{11}}$ , ${\textstyle J_{22}}$ ja ${\textstyle J_{33}}$ ovat kappaleen hitausmomentit ${\textstyle x_{1}}$ -, ${\textstyle x_{2}}$ - ja ${\textstyle x_{3}}$ -akselien suhteen.^[1] Jos käytetään koordinaattien ${\textstyle (x_{\alpha ,1},x_{\alpha ,2},x_{\alpha ,3})}$ sijaan karteesisia koordinaatteja ${\textstyle (x_{\alpha },y_{\alpha },z_{\alpha })}$ ja merkitsemällä ${\textstyle r_{\alpha }^{2}=x_{\alpha }^{2}+y_{\alpha }^{2}+z_{\alpha }^{2}}$ , tensori ${\textstyle \left\{\mathbf {J} \right\}}$ voidaan kirjoittaa helppokäyttöisempään muotoon:

$\{\mathbf {J} \}=\left\{{\begin{matrix}\sum _{\alpha }m_{\alpha }(r_{\alpha }^{2}-x_{\alpha }^{2})&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha }y_{\alpha }&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha }z_{\alpha }\\-\sum _{\alpha }m_{\alpha }y_{\alpha }x_{\alpha }&\sum _{\alpha }m_{\alpha }(r_{\alpha }^{2}-y_{\alpha }^{2})&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }y_{\alpha }z_{\alpha }\\-\sum _{\alpha }m_{\alpha }z_{\alpha }x_{\alpha }&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }z_{\alpha }y_{\alpha }&\sum _{\alpha }m_{\alpha }(r_{\alpha }^{2}-z_{\alpha }^{2})\end{matrix}}\right\}$

Hitausmomenttitensori on symmetrinen, ts. ${\textstyle J_{ij}=J_{ji}}$ . Hitausmomenttitensorille pätevät samat matriisien yhteenlaskusäännöt, joten mielivaltaisen muotoisen kappaleen hitausmomenttitensori voidaan rakentaa summaamalla sen eri osien hitausmomenttitensorit. Edelleen, jos kappaleen massajakauma on jatkuva siten, että sen tiheys on ${\textstyle \rho =\rho ({\vec {r}})}$ , niin

$J_{ij}=\iiint _{V}\rho ({\vec {r}})\left(\delta _{ij}\sum _{k}x_{k}^{2}-x_{i}x_{j}\right)\,\mathrm {d} V$ ,

missä ${\textstyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x_{1}\,\mathrm {d} x_{2}\,\mathrm {d} x_{3}}$ on paikkavektorin ${\textstyle {\vec {r}}}$ osoittamassa pisteessä oleva differentiaalinen tilavuusalkio ja ${\textstyle V}$ on kappaleen tilavuus.^[1]

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Thornton, Stephen T. & Marion, Jerry B.: Classical Dynamics of Particles and Systems, 5. painos, s. 415–418. Brooks/Cole, Cengage Learning, 2008. ISBN 978-0-495-55610-7. (englanniksi)

Tämä fysiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.

[:0-1] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Thornton, Stephen T. & Marion, Jerry B.: Classical Dynamics of Particles and Systems, 5. painos, s. 415–418. Brooks/Cole, Cengage Learning, 2008. ISBN 978-0-495-55610-7. (englanniksi)

[1]