Noppa

Erilaisia noppia, joista kaksi etummaisinta ovat arpakuutioita.

Noppa on säännöllinen geometrinen esine, jota käytetään arpomistarkoituksessa esimerkiksi peleissä. Nopalla on tietty määrä tasaisia pintoja, joista jokainen vastaa jotakin tulosta, joka on useimmiten luku. Yleisin on kuusisivuinen, kuution muotoinen noppa eli arpakuutio.

Kunnollinen noppa on muotoiltu ja tasapainotettu niin, että sillä on periaatteessa yhtä suuri mahdollisuus pysähtyä mihin tahansa sille mahdolliseen asentoon. Tällaista noppaa heitettäessä se pysähtyy lopulta oletettavasti satunnainen puoli ylöspäin, jolloin ylöspäin jäänyt puoli määrittää nopanheiton tuloksen. Noppien sivut on yleensä numeroitu niin, että vastakkaisten sivujen summa on aina sama, esimerkiksi tavallisen kuusisivuisen nopan vastakkaisten sivujen summa on aina seitsemän – silmäluvut on aseteltu näin ainakin antiikista saakka.

Yleisimmin nopat on valmistettu muovista, puusta tai muusta kestävästä kovasta aineesta, kuten metallista. Hienompia tehdään myös mm. marmorista. Ne voivat olla värjättyjä sekä merkittyjä monin eri tavoin. Kuusisivuisten lisäksi on olemassa myös 4-, 8-, 10-, 12-, 20-, 24-, 30-, ja jopa 100-sivuisia noppia. Tällaisia noppia käytetään erityisesti roolipeleissä.

Roolipeleissä noppiin usein viitataan muodossa d nopan sivujen lukumäärä, ja nopanheitot merkitään usein muotoon noppien määrä d nopan sivujen lukumäärä. Esimerkiksi kuusisivuinen noppa on d6, ja merkintä 2d6 tarkoittaa, että kahden kuusivuisen nopan heiton tulokset lasketaan yhteen, tuloksena luku välillä 2—12. Kirjain d viittaa englannin kielen sanaan dice, tarkoittaen noppia. Suosittu roolipelijärjestelmä d20 System ottaa nimensä 20-sivuisesta nopasta, jota järjestelmässä käytetään varsin usein. Joissain roolipelien suomenkielisissä käännöksissä käytetään toisinaan d:n tilalla kirjainta n. Jotkin pelit käyttävät puolestaan isoja kirjaimia (esimerkiksi "D6").

Nopanheiton matematiikka

Tarkasteltaessa arpakuution heittoa matemaattisesti satunnaisilmiönä on yleensä lähtökohtana, että tulosmahdollisuudet (silmäluvut 1, 2, 3, 4, 5, 6) ovat symmetrisiä alkeistapauksia, eli että yhdessä heitossa kunkin silmäluvun esiintymistodennäköisyys on 1/6.

Heitettäessä arpakuutiota kaksi kertaa todennäköisyys saada molemmilla kerroilla kuutonen on 1/36. Todennäköisyys saada yksi kuutonen on 10/36 ja todennäköisyys, että saadaan vähintään yksi kuutonen, on 11/36.

Arpakuutiota on heitettävä vähintään neljä kertaa, ennen kuin on suurempi todennäköisyys esim. kuutosen esiintymiselle vähintään kerran verrattuna tapaukseen, jossa se ei esiinny kertaakaan. Todennäköisyys saadaan kaavasta

$1 - ({5 \over 6}){^4} \approx 0,518$

Tätä ongelmaa pohti jo 1600-luvulla Chevalier de Méré. Heitettäessä kahta arpakuutiota ja tarkasteltaessa vastaavasti kuutosparin esiintymistä vanha uhkapelurien sääntö johti tulokseen 24 heittoa. Todellisuudessa todennäköisyys jää vajaaksi

$1 - ({35 \over 36})^{24} \approx 0,491$

ja vasta 25. heitto johtaisi pitkällä aikavälillä voittoon mahdollisessa vedonlyönnissä kuutosparin esiintymisen puolesta. Ongelman ratkaisemiseksi de Méré kääntyi Blaise Pascalin puoleen.

Kahta arpakuutiota heitettäessä silmälukujen summan todennäköisin tulos on 7, kuten nähdään alla olevasta taulukosta. Tuloksen todennäköisyys on 6/36 = 1/6. Tulos 7 on myös summien keskiarvo. Summan jakaumafunktio muistuttaa jo hieman normaalijakaumaa ja sitä paremmin, jos tarkastellaan kahta useamman nopanheiton summaa.

Kahden nopanheiton summa  6  7  8  9 10 11 12  5  6  7  8  9 10 11  4  5  6  7  8  9 10  3  4  5  6  7  8  9  2  3  4  5  6  7  8  1  2  3  4  5  6  7  1  2  3  4  5  6

Kahden nopanheiton summan jakauma  6                                5                                4                                3                                2                                1                                   2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12

Heittosarja 1121314151622324252633435364454655661 on esimerkki mahdollisimman lyhyestä ketjusta (37 heittoa), joka sisältää kaikki 36 kahden peräkkäisen heiton tulosmahdollisuudet.