Noppa

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Tämä artikkeli kertoo arpomisvälineestä. Muita merkityksiä on täsmennyssivulla.
Erilaisia noppia, joista kaksi etummaisinta ovat arpakuutioita.

Noppa on säännöllinen geometrinen esine, jota käytetään arpomistarkoituksessa esimerkiksi peleissä. Nopalla on tietty määrä tasaisia pintoja, joista jokainen vastaa jotakin tulosta, joka on useimmiten luku. Yleisin on kuusisivuinen, kuution muotoinen noppa eli arpakuutio.

Kunnollinen noppa on muotoiltu ja tasapainotettu niin, että sillä on periaatteessa yhtä suuri mahdollisuus pysähtyä mihin tahansa sille mahdolliseen asentoon. Tällaista noppaa heitettäessä se pysähtyy lopulta oletettavasti satunnainen puoli ylöspäin, jolloin ylöspäin jäänyt puoli määrittää nopmmmanheiton tuloksen. Noppien sivut on yleensä numeroitu niin, että vastakkaisten sivujen summa on aina sama, esimerkiksi tavallisen kuusisivuisen nopan vastakkaisten sivujen summa on aina seitsemän – silmäluvut on aseteltu näin ainakin antiikista saakka.

Yleisimmin nopat on valmistettu muovista, puusta tai muusta kestävästä kovasta aineesta, kuten metallista. Hienompia tehdään myös mm. marmorista. Ne voivat olla värjättyjä sekä merkittyjä monin eri tavoin. Kuusisivuisten lisäksi on olemassa esimerkiksi myös 4-, 8-, 10-, 12-, 20-, 24-, 30-, ja jopa 100-sivuisia noppia. Vedonlyönnissä kolikkoa voidaan pitää 2-sivuisena noppana. Tällaisia noppia käytetään erityisesti roolipeleissä.

Roolipeleissä noppiin usein viitataan muodossa d nopan sivujen lukumäärä, ja nopanheitot merkitään usein muotoon noppien määrä d nopan sivujen lukumäärä. Esimerkiksi kuusisivuinen noppa on d6, ja merkintä 2d6 tarkoittaa, että kahden kuusivuisen nopan heiton tulokset lasketaan yhteen, tuloksena luku välillä 2—12. Kirjain d viittaa englannin kielen sanaan dice, tarkoittaen noppia. Suosittu roolipelijärjestelmä d20 System ottaa nimensä 20-sivuisesta nopasta, jota järjestelmässä käytetään varsin usein. Joissain roolipelien suomenkielisissä käännöksissä käytetään toisinaan d:n tilalla kirjainta n. Jotkin pelit käyttävät puolestaan isoja kirjaimia (esimerkiksi "D6").

Nopanheiton matematiikka[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tarkasteltaessa arpakuution heittoa matemaattisesti satunnaisilmiönä on yleensä lähtökohtana, että tulosmahdollisuudet (silmäluvut 1, 2, 3, 4, 5, 6) ovat symmetrisiä alkeistapauksia, eli että yhdessä heitossa kunkin silmäluvun esiintymistodennäköisyys on 1/6.[1]

Heitettäessä arpakuutiota kaksi kertaa todennäköisyys saada molemmilla kerroilla kuutonen on 1/36.[2] Todennäköisyys saada yksi kuutonen on 10/36 ja todennäköisyys, että saadaan vähintään yksi kuutonen, on 11/36.[3]

Arpakuutiota on heitettävä vähintään neljä kertaa, ennen kuin on suurempi todennäköisyys esim. kuutosen esiintymiselle vähintään kerran verrattuna tapaukseen, jossa se ei esiinny kertaakaan.[4] Todennäköisyys saadaan kaavasta

1 - ({5 \over 6}){^4}  \approx 0,518

Tätä ongelmaa pohti jo 1600-luvulla Chevalier de Méré. Heitettäessä kahta arpakuutiota ja tarkasteltaessa vastaavasti kuutosparin esiintymistä vanha uhkapelurien sääntö johti tulokseen 24 heittoa. Todellisuudessa todennäköisyys jää vajaaksi

1 - ({35 \over 36})^{24}  \approx 0,491

ja vasta 25. heitto johtaisi pitkällä aikavälillä voittoon mahdollisessa vedonlyönnissä kuutosparin esiintymisen puolesta. Ongelman ratkaisemiseksi de Méré kääntyi Blaise Pascalin puoleen.

Kahta arpakuutiota heitettäessä silmälukujen summan todennäköisin tulos on 7, kuten nähdään alla olevasta taulukosta. Tuloksen todennäköisyys on 6/36 = 1/6. Tulos 7 on myös summien keskiarvo. Summan jakaumafunktio muistuttaa jo hieman normaalijakaumaa ja sitä paremmin, jos tarkastellaan kahta useamman nopanheiton summaa.

Kahden nopanheiton summa
 6  7  8  9 10 11 12
 5  6  7  8  9 10 11
 4  5  6  7  8  9 10
 3  4  5  6  7  8  9
 2  3  4  5  6  7  8
 1  2  3  4  5  6  7
 1  2  3  4  5  6
Kahden nopanheiton summan jakauma
 6                              
 5                              
 4                              
 3                              
 2                              
 1                                 
 2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12

Heittosarja 1121314151622324252633435364454655661 on esimerkki mahdollisimman lyhyestä ketjusta (37 heittoa), joka sisältää kaikki 36 kahden peräkkäisen heiton tulosmahdollisuudet.

Tarkastellaan seuraavaksi todennäköisyyttä, että arpakuution heittosarjassa on esiintynyt tietty määrä erilaisia silmälukuja. Olkoon yleisessä satunnaisprosessissa M yhtä todennäköistä tulosmahdollisuutta. Tarkastellaan toistokokeen n:ttä koetta ja todennäköisyyttä, että koesarjassa on tällöin esiintynyt m erilaista tulosta. Kyseiseen tilaan on voitu päätyä kahta tietä: 1. Edeltävissä kokeissa on jo esiintynyt vaadittu määrä m. Tällöin nykyisessä kokeessa suotuisia tulosvaihtoehtoja on m, eli ne jotka ovat jo esiintyneet. 2. Edeltävissä kokeissa on esiintynyt m – 1 tulosvaihtoehtoa. Tällöin nykyisessä kokeessa on saatava uusi tulos, eli suotuisia vaihtoehtoja on M – (m –1) = M – m + 1. Yhdistämällä tapaukset voidaan kirjoittaa differenssiyhtälö

L(n, m) = m L(n – 1, m) + (M – m + 1) L(n – 1, m – 1)

joka ilmoittaa, kuinka monta suotuisaa tulosvaihtoehtoa on tapaukselle, että kokeen n jälkeen on havaittu m erilaista tulosta. Vastaava todennäköisyys saadaan jakamalla lukumäärä L(n, m) kaikkien mahdollisten tulosvaihtoehtojen määrällä Mn eli sarakkeella n olevien lukujen summalla. Alla oleva taulukko kuvaa nopanheittoa, jossa on 6 erilaista tulosvaihtoehtoa. Laskennan alkuarvo on L(1, 1) = 6.

m uusi luku (kelt.) saadaan kahdesta aikaisemmasta (sin.)
6 720 15120 191520
5 720 10800 100800 756000
4 360 3600 23400 126000 612360
3 120 720 3000 10800 36120 115902
2 30 90 210 450 930 1890 3810
1 6 6 6 6 6 6 6 6
1 2 3 4 5 6 7 8 n

Jatkamalla taulukon laskemista todetaan, että heittokierroksella 13 sellaisten tulosten lukumäärä, joilla kaikki silmäluvut ovat esiintyneet, on 6 711 344 640. Tulosmahdollisuuksia on kaiken kaikkiaan 613 ja tämä on heittosarjassa ensimmäinen kerta, kun todennäköisyys saada kaikki silmäluvut on suurempi kuin 0,5.

Samantapaista ongelmaa voidaan tarkastella hieman toisin. Oletetaan, että arpakuution heittosarjassa vielä esiintymättömiä tuloksia on m. Todennäköisyys saada seuraavalla heitolla uusi arvo on m:M, missä M = 6. Mutta tämä todennäköisyys voidaan tulkita jäljellä olevien arvojen keskimääräiseksi vähenemiseksi, jolloin voidaan kirjoittaa differenssiyhtälö

 m(n) = m(n-1) - {m(n-1) \over M} = {5 \over 6} m(n-1)

Tästä saadaan

 m(1) = {5 \over 6} m(0) = {5 \over 6} 6 = 5; m(2) = {5 \over 6} m(1) = {5 \over 6} 5 = {25 \over 6} \approx 4,2; m(3) = {5 \over 6} m(2) = {5 \over 6} {25 \over 6} \approx 3,5

ja yleisesti

 m(n) = ({5 \over 6})^n 6

joka on esimerkki eksponentiaalisesta vähenemisestä.



Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Yrjö Juve: Todennäköisyyslaskennan alkeita., s. 12–14. Erikoiskurssi matemaattista linjaa varten. Viides painos. Helsinki: Kirjayhtymä, 1971.
  2. Juve, s. 18–19.
  3. Juve, s. 20.
  4. Ivars Peterson: Satunnaisuuden viidakot. Alkuteos: The Jungles of Randomness (1998). Suom. Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Terra Cognita, 1998. ISBN 952-5202-17-8.