Differenssiyhtälö

Differenssiyhtälö on differentiaaliyhtälön diskreetti analogia. Se siis eroaa differentiaaliyhtälöstä siinä, että yhtälö on määritelty vain joissakin erillisissä pisteissä, hilassa. Differenssiyhtälön yleinen muoto on

$F(y_{n-k}, y_{n-k+1}, \ldots, y_{n+l-1}, y_{n+l};n) = 0$,

missä $n \in \mathbb{Z}$ ja k ja l ovat kiinnitettyjä kokonaislukuja, joita sitoo ehto $k+l>0$. Yksinkertaisia differenssiyhtälöitä ovat esimerkiksi

$y_{n+1} = ny_n(1 - y_n)\,$

$y_{n+1}+y_{n-1} = \frac{2ay_n}{1 - y_n^2}$.

Differenssiyhtälöihin liittyvä terminologia on pitkälti analogista differentiaaliyhtälöiden kanssa. Ellei yhtälö riipu suoraan (eksplisiittisesti) indeksistä $n$, yhtälö on autonominen. Yllä olevista esimerkeistä jälkimmäinen yhtälö on autonominen. Yhtälön kertaluku puolestaan on luku $k+l$. Esimerkkiyhtälöistä ensimmäinen on 1. kertalukua, kun alempi on toisen kertaluvun yhtälö.

Katso myös

• Differentiaaliyhtälö
• q-analogia
• Rekursio