Maxwellin–Boltzmannin jakauma

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Maxwellin–Boltzmannin jakauma (Maxwellin–Boltzmannin statistiikka, MB-statistiikka) on todennäköisyysjakauma, jota käytetään kuvaamaan fysiikan ja kemian tilastollisia ilmiöitä. Esimerkiksi ilman molekyylien nopeusjakauma noudattaa Maxwellin–Boltzmannin jakaumaa. Jakauma voidaan johtaa tilastollisesta mekaniikasta ja sen avulla voidaan selittää kaasujen ominaisuuksia kuten paine.

Yleinen Maxwellin jakauma[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Maxwellin jakauma (tai Maxwellin–Boltzmannin jakauma) on muotoa

f(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{x^2 e^{-x^2/(2a^2)}}{a^3},

missä

  • π on vakio pii
  • e on Neperin luku
  • a on vakio, joka yli 0
  • x on esimerkiksi hiukkasten nopeus

Kumulatiivinen Maxwellin jakauma saadaan

 F(x)= \textrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2} a}\right) -\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{x e^{-x^2/(2a^2)}}{a},

missä \textrm{erf} on virhefunktio.

Maxwellin–Boltzmannin nopeusjakauma kaasulle[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Maxwell-Boltzmannin jakauma

Kaasun molekyylien liike noudattaa Maxwellin–Boltzmannin nopeusjakaumaa

f(v) = 4 \pi \left(\frac{m}{2 \pi kT}\right)^{\frac{3}{2}} v^{2}e^{-\frac{mv^2}{2kT}}

eli


f (v) = 4 \pi 
\left(\frac{m}{2 \pi kT}\right)^{3/2}\!\!v^2 \exp \left[ \frac{-mv^2}{2kT} \right]

tai

 F(v) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \left( \frac{m_M}{\mathrm{k_B}T} \right)^{3/2} v^2 \exp\left( -\frac{m_M v^2}{2\mathrm{k_B}T} \right) = 4 \pi \left( \frac{M}{\mathrm{2 \pi R}T} \right)^{3/2} v^2 \exp \left( -\frac{M v^2}{2 R T} \right),

missä

Tyypillisiä kaasuosasten nopeuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yleisin kaasuosasen nopeus v_p lasketaan kaavasta

v_p = \sqrt { \frac{2kT}{m} } = \sqrt { \frac{2RT}{M} },

missä

  • k Boltzmannin vakio
  • T lämpötila
  • m molekyylimassa
  • R yleinen kaasuvakio eli Boltzmannin vakio kerrottuna Avogadron vakiolla
  • M yhden kaasumoolin massa, mikä on molekyylimassa kertaa Avogadron vakio

Se on pienempi kuin kaasuosasten keskinopeus

 \langle v \rangle = \int_0^{\infin} v \, f(v) \, dv= \sqrt { \frac{8kT}{\pi m}}= \sqrt { \frac{8RT}{\pi M}}.

Kvanttiteoreettiset jakaumat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kvanttiteoria on osoittanut, ettei Maxwellin–Boltzmannin jakauma sellaisenaan päde millekään alkeishiukkaselle. Sen sijaan niihin on sovellettava joko Bosen–Einsteinin tai Fermin–Diracin statistista jakaumalakia riippuen siitä, ovatko hiukkaset bosoneja vai fermioneja. Maxwellin–Boltzmannin jakauma saadaan niistä kummastakin kuitenkin rajatapauksena silloin, kun hiukkasilla on mahdollisia energiatiloja niin paljon, ettei kvantittumista tarvitse ottaa huomioon.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • T. Paakkari: Termofysiikka. s. 107–113. Limes ry, 1997.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]