Jännenelikulmio

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Erilaisia jännenelikulmioita: neliö, suorakulmio, tasakylkinen puolisuunnikas ja yleinen syklinen nelikulmio.
Syklinen nelikulmio eli jännenelikulmio.
Syklisen nelikulmion lävistäjien jakamat samansuuruiset kulmat.
Pisteen potenssi.
Nelikulmio voi olla myös "perhonen".

Jännenelikulmio eli syklinen nelikulmio on geometriassa nelikulmio, jonka kärjet sijaitsevat ympyrän kehällä. Sanotaan, että syklisen nelikulmion kärjet ovat konsykliset. Kukin nelikulmion sivu on myös ympyrän jänne.[1][2]

Kaikille kolmioille voidaan piirtää ympyrä (ulkoympyrä), joka kulkee jokaisen kolmion kärjen kautta.[3] Nelikulmiolla tämä ei enää pidä paikkaansa. Jos ympyrä kulkee ensin kolmen kärjen kautta, voi neljäs kärki sijaita muuallakin kuin ympyrän kehällä. Jännenelikulmiot ovat siten nelikulmioiden erityinen luokka. Kuitenkin kaikki neliöt, suorakulmiot ja tasakylkiset puolisuunnikkaat ovat syklisiä nelikulmioita.

Jännenelikulmiolla on kaksi paria vastakkaisia kulmia. Voidaan osoittaa, että jännenelikulmiossa vastakkaiset kulmat ovat toistensa supplementtikulmia eli vastakkaisten kulmien summa on aina 180 astetta. Supplementtikulmaehto on myös välttämätön ehto sille, että nelikulmion kärkien kautta voidaan piirtää ympyrä.[1][4][5]

Erityispiirteitä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Seuraavat ehdot ovat tasavertaisia keskenään. Niissä viitataan viereisten kuvien merkintöihin. Nelikulmio on konveksi ja syklinen jos ja vain jos

  • vastakkaiset kulmat ovat supplemettikulmia eli niiden summa on 180 astetta. Viereisen kuvan merkinnöin \alpha + \gamma = 180^\circ ja \beta + \delta = 180^\circ.[6]
  • kunkin kulman ulkokulma on yhtäsuuri kuin vastainen kulma. Esimerkiksi kulman \beta ulkokulma on sama suuruinen kuin kulma \delta itse.
  • sivun ja lävistäjän välinen kulma on yhtä suuri kuin vastaisen sivun ja toisen lävistäjän välinen kulma viereisessä kulmassa. Nämä kulmat ovat samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ja ovat siksi yhtä suuret. Viereisessä kuvassa samansuuruiset kulmat on samanväriset.[4]
  • edellinen havainto auttaa huomaamaan, että lävistäjien erottamat kolmiot ovat yhdenmuotoiset: \Delta AMD \sim \Delta DMC ja \Delta DMA \sim \Delta CMB.

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pinta-ala[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yleisen nelikulmion ala on, kun s = \tfrac{1}{2} (a+b+c+d) on puolipiiri,

A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - a b c d \cos^2 {\frac {\beta + \delta}{2}}}. [8]

Koska syklisessä nelikulmiossa \beta + \delta = 180^\circ ja \cos {\frac {\beta + \delta}{2}} = 0, tulee pinta-alasta

A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}, [8]

mikä tunnetaan Brahmaguptan kaavana. Pinta-ala on suurin niiden nelikulmioiden joukossa, joiden sivut ovat samat kuin syklisellä nelikulmiolla.[2]

Lävistäjien pituudet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Syklisen nelikulmion lävistäjät voidaan laskea seuraavasti:

 q = BD = \sqrt{(a c + b d) \frac{a b + c d}{a d + b c}}

ja

 p = AC = \sqrt{(a c + b d) \frac{a d + b c}{a b + c d}}.

Tulos tunnetaan nimellä Mahaviran lause.[9]

Ympäröivän ympyrän säde[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Syklisen nelikulmion ympyrän säteelle voidaan johtaa lauseke

R = \frac{\sqrt{ (ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}{4A}, [10][11]

missa A on nelikulmion pinta-ala.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b Väisälä, Kalle: Geometria, s.89-90
  2. a b Weisstein, Eric W.: Cyclic Quadrilateral (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. Väisälä, Kalle: Geometria, s.76-77
  4. a b Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan: Mathematical Olympiad Treasures, s. 44–46. kappale 2.3 Cyclic quads. Springer, 2004. Teoksen verkkoversio (Google-book) (viitattu 23.9.2013).
  5. Joyce, D.E.: [Euclid's Elements Book III, Proposition 22], 1996, Clark University
  6. a b Usiskin, Zalman & Griffin, Jennifer & al.: The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition, s. 63–65. Porvoo: IAP, 2008. Teoksen verkkoversio (pdf).
  7. Väisälä, Kalle: Geometria, s.117-118
  8. a b Yiu, P.: Euclidean Geometry, 1998, s.147-148
  9. http://geome3atc.wordpress.com/2010/08/06/ptolemys-theorems/
  10. Lennart Råde, Bertil Westergren, Mathematical Handbook for Science and Engineering>
  11. http://2000clicks.com/mathhelp/geometrytrianglecyclicquadrilateralcircumscribedcircle.aspx

Viittausvirhe: <ref>-elementin nimeä ”yiu151”, johon viitataan elementissä <references> ei käytetä edeltävässä tekstissä.