Ptolemaioksen lause

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Syklinen nelikulmio, jolle pätee Ptolemaioksen ensimmäinen- ja toinen lause.
Yleinen nelikulmio, joka ei ole syklinen. Tälle pätee Ptolemaioksen epäyhtälö.

Ptolemaioksen lauseet ovat geometriassa nelikulmioihin liittyviä tuloksia. Kuuluisimpia Klaudios Ptolemaioksen nimiin kirjattuja tuloksia ovat syklisiin nelikulmiohin liittyvä yhtälö ja yleisiin nelikulmioihin liittyvä epäyhtälö. Näiden avulla hän muun muassa johti eräitä trigonometrian summakaavoja.[1][2][3]

Ptolemaioksen lause[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ptolemaios todisti konveksille sykliselle nelikulmiolle seuraavan lauseen (kuvan merkinnöillä):

AB \cdot CD + BC \cdot AD = AC \cdot BD, [4]

eli vastaisten sivujen tulojen summa on sama kuin lävistäjien tulo (todistus [4]).

Pythagoraan lause[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos nelikulmio on (syklinen) suorakulmio, ovat vastaiset sivut yhtäpitkät. Nimeämällä kärjen A mukaan AB = CD ja AC = BD ja totemalla lävistäjien olevan yhtäpitkät AD = BC, saadaan

AB \cdot AB + AD \cdot AD = AC \cdot AC

eli

AB^2 + AD^2 = AC^2.

Tämä on Pythagoraan lause suorakulmaiselle kolmiolle, jota mainitut sivut merkitsevät.[5]

Ptolemaioksen toinen lause[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ptolemaios huomasi toisenkin ominaisuuden. Syklisen nelikulmion lävistäjät ovat verrannollisia lävistäjän päätepisteistä lähtevien sivujen tulojen summaan. Esimerkiksi lävistäjän AC päätepisteestä A lähtee sivut AB ja AD ja päätepisteestä C lähtee sivut CB ja CD. Verrannollisuus on esitettävissä

AC \sim AB \cdot AD + CB \cdot CD.

Lävistäjien suhde on siten (todistus [5])

\frac{AC}{BD}=\frac{AB\cdot AD+CB\cdot CD}{BA\cdot BC+DA\cdot DC}. [5]

Ptolemaioksen epäyhtälö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ensimmäisen lauseen mukaan nelikulmion ABCD sivujen ja lävistäjien pituuksille voidaan esittää

AB\cdot CD+BC\cdot AD\geq AC\cdot BD.

Epäyhtälö on voimassa kaikille nelikulmioille, mutta yhtäsuuruus on voimassa vain syklisille nelikulmioille.[6]

Ptolemaioksen epäyhtälön todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tarkastellaan nelikulmiota ABCD. Kostruoidaan nyt piste E siten, että kolmiot ACD ja AEB ovat yhdenmuotoiset(\angle ABE=\angle CDA ja \angle BEA=\angle CAD). Tällöin \frac{AE}{AC}=\frac{AB}{AD}=\frac{BE}{DC}, joten BE=\frac{AB\cdot DC}{AD}. Koska myös \angle EAC=\angle BAD, on \frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AE}, sillä kolmiot EAC ja BAD ovat yhteneviä. Siten EC=\frac{AC\cdot DB}{AD}. Siten ABCD on jännenelikulmio, joten \angle ABE+\angle CBA=\angle ADC+\angle CBA=180^\circ. Siten pisteet C, B ja E ovat samalla suoralla, joten EC=EB+BC. Nyt saadaan siis \frac{AC\cdot DB}{AD}=\frac{AB\cdot DC}{AD}+BC. Kertomalla yhtälö puolittain AD:llä saadaan AC\cdot DB=AB\cdot DC+BC\cdot AD.

Oletetaan sitten, että ABCD ei ole jännenelikulmio. Tällöin \angle ABE+\angle CBA=\angle ADC+\angle CBA\neq 180^\circ, joten pisteet E, B ja C muodostavat kolmion. Siten kolmioepäyhtälön nojalla on voimassa EC<EB+BC. Edelleen saadaan aiemmin johdetusta identiteetistä \frac{AC\cdot DB}{AD}<\frac{AB\cdot DC}{AD}+BC. Siis AC\cdot DB<AB\cdot DC+BC\cdot AD. Nämä yhdessä antavat Ptolemaioksen ensimmäisen lauseen: AC\cdot DB\leq AB\cdot DC+BC\cdot AD, missä yhtäsuuruus esiintyy vain jos ABCD on jännenelikulmio.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Weisstein, Eric W.: Ptolemy's Theorem (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  2. Weisstein, Eric W.: Ptolemy Inequality (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. Weisstein, Eric W.: Cyclic Quadrilateral (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. a b Yiu, P.: Euclidean Geometry (luentomoniste, s.148-152) http://math.fau.edu/yiu/Geometry.html. 1998. Florida Atlantic University. Viitattu 25.9.2013.
  5. a b c http://geome3atc.wordpress.com/2010/08/06/ptolemys-theorems/
  6. Wells, David: The Penquin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, s. 200-201. Englanti: Penguin Group, 1991. ISBN 0-14-011813-6. (englanniksi)