Ptolemaioksen lause

Ptolemaioksen lause on geometriassa nelikulmioon liittyvä epäyhtälö. Sen mukaan nelikulmion ABCD sivujen ja lävistäjien pituuksille on voimassa $AB\cdot CD+BC\cdot AD\geq AC\cdot BD$. Yhtäsuuruus on voimassa vain jos ABCD on jännenelikulmio, eli sen kaikki kärjet sijaitsevat ympyrän kehällä. Ptolemaioksen lause voidaan todistaa esimerkiksi inversion avulla tai yhdenmuotoisilla kolmioilla. Lauseen avulla voidaan muun muassa todistaa trigonometrian summakaavoja.

Ptolemaioksen lauseen todistus

Tarkastellaan nelikulmiota ABCD. Kostruoidaan nyt piste E siten, että kolmiot ACD ja AEB ovat yhtenevät ($\angle ABE=\angle CDA$ ja $\angle BEA=\angle CAD$). Tällöin $\frac{AE}{AC}=\frac{AB}{AD}=\frac{BE}{DC},$ joten $BE=\frac{AB\cdot DC}{AD}.$ Koska myös $\angle EAC=\angle BAD$, on $\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AE}$, sillä kolmiot $EAC$ ja $BAD$ ovat yhteneviä. Siten $EC=\frac{AC\cdot DB}{AD}.$ Siten $ABCD$ on jännenelikulmio, joten $\angle ABE+\angle CBA=\angle ADC+\angle CBA=180^\circ.$ Siten pisteet $C, B$ ja $E$ ovat samalla suoralla, joten $EC=EB+BC$. Nyt saadaan siis $\frac{AC\cdot DB}{AD}=\frac{AB\cdot DC}{AD}+BC.$ Kertomalla yhtälö puolittain $AD$:llä saadaan $AC\cdot DB=AB\cdot DC+BC\cdot AD.$

Oletetaan sitten, että $ABCD$ ei ole jännenelikulmio. Tällöin $\angle ABE+\angle CBA=\angle ADC+\angle CBA\neq 180^\circ,$ joten pisteet $E$, $B$ ja $C$ muodostaval kolmion. Siten kolmioepäyhtälön nojalla on voimassa $EC<EB+BC$. Edelleen saadaan aiemmin johdetusta identiteetistä $\frac{AC\cdot DB}{AD}<\frac{AB\cdot DC}{AD}+BC.$ Siis $AC\cdot DB<AB\cdot DC+BC\cdot AD.$ Nämä yhdessä antavat Ptolemaioksen lauseen: $AC\cdot DB\leq AB\cdot DC+BC\cdot AD$, missä yhtäsuuruus esiintyy vain jos $ABCD$ on jännenelikulmio.