Kehäkulma

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Kaarta AB (punainen) vastaavat kehäkulma \scriptstyle \alpha \, = \, \measuredangle AOB ja kehäkulma \scriptstyle \beta \, = \, \measuredangle APB.
Keskus- ja kehäkulma, joka ei muutu sijainnistaan huolimatta.

Kehäkulma on geometriassa ympyrään liittyvä kulma. Ympyrän kehältä valitaan kolme pistettä A, B ja P, joista P:sta piirretään jänteet PA ja PB. Jänteiden PA ja PB välistä kulmaa \scriptstyle \measuredangle APB nimitetään kehäkulmaksi. Koska kulman määrittäminen kahden pisteen avulla jättää kaksi vaihtoehtoista tulkintaa, sidotaan keskuskulma usein ympyrän kaareen tai sitä vastaavaan jänteeseen.[1]

Kehäkulmalause[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kehäkulmalauseen mukaan, saman kaaren jakavat keskuskulma \alpha ja kehäkulma \beta määräävät toisensa yhtälöllä \scriptstyle \alpha \, = \, 2\beta (vertaa oheista kuvaa). Tämän tiedon välitömänä seurauksena, mikäli kahdella kehäkulmalla \scriptstyle \measuredangle AP_1B ja \scriptstyle \measuredangle AP_2B on yhteinen keskuskulma \scriptstyle \measuredangle AOB, ovat kehäkulmat suuruudeltaan puolet tästä ja siten yhtäsuuret eli \scriptstyle \measuredangle AP_1B \, = \,  \measuredangle AP_2B \, = \, \beta. Kaikki saman kaaren kehäkulmat ovat siksi aina yhtä suuria, kuten alla olevassa kuvassa näytetään.[1][2]

Kehäkulmalauseella on yksinkertaisuudestaan huolimatta merkittävä asema Euklidiseen geometriassa, jossa sen ominaisuuksia käytettiin paljon todistamisessa. Esimerkiksi, kun kaksi ympyrän jännettä leikkaavat toisensa, voidaan kehäkulmalauseella osoittaa, että jänteiden osien tulo on vakio. Myös tunnettu tulos, jossa jännenelikulmion vastakkaisten kulmien summa on 180°, saadaan kehäkulmalausella pääteltyä helposti.[3]

Kehäpisteen ollessa kaaren päätepisteessä, voidaan käsitellä tilannetta poikkeavasti, koska kehäkulma näkyy nyt jänteen ja tangentin välissä.

Viimeinen huomautus nähdään yllä olevasta kuvasta. Kaari ADC vastaavat keskuskulma α ja kehäkulma β. Kaarta CBA vastaavat keskuskulma θ ja kehäkulma ψ. Koska θ = 360° - α, ovat kehäkulma puolet tästä eli ψ = 1/2·θ = 1/2·(360° - α) = 180° - α/2 = 180° - β. Täten vastakkaiset kulmat ovat supplementtikulmat eli ψ = 180° - β.

Kun kehäpiste lähestyy kaaren reunapistettä, jää toisen kehäkulman jänne lyhyeksi. Kehäkulman suuruus säilyy saman suurisena lähestymisen loppuun saakka, mutta kun kehäpiste yhtyy kaaren reunapisteeseen, näkyy kehäkulman sen toisen kylkenä olevan jänteen ja ympyrän tangentin välissä. Tätä erikoistilannetta voi pitää kehäkulmalauseen laajennuksena (katso viereinen kuva).

Thaleen lause[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kehäkulmalauseen erikoistapauksena saadaan Thaleen lause, kun keskuskulma on oikokulma eli 180°, niin kehäkulma on suora kulma eli 90°. Kehäkulmalauseen mukaisesti kaksi (eli kaikki) puoliympyrän kehäkulmaa ovat molemmat suoria.[4]

Kehäkulmalauseen todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lause on ollut tapana todistaa Suomen koululaitoksen oppikirjoissa yhdessä erikoistapauksessa ja kahdessa yleisessä tapauksessa, jotka kattavat kaikki tapaukset ja tukevat toisiaan todistelussa.[5]

Kehäkulman jänne ja sektorin säde ovat päällekkäin[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Apukuvio todistukseen erikoistapauksessa, jossa kehäkulman kylki ja sektroin kylki ovat päällekkäin.

Tutkimalla kuviota huomataan, että

  • kehäkulma on \scriptstyle \measuredangle BVA ja keskuskulma on \scriptstyle \measuredangle BOA.
  • janat VO = OB = OA = R eli ympyrän säde.
  • tasakylkisessä kolmiossa \scriptstyle \triangle VOA kärki O on huipun kärki ja A ja V ovat kankakulmien kärjet.
  • kantakulmat \scriptstyle \measuredangle OVA = \scriptstyle \measuredangle VAO = \scriptstyle \psi ja huippukulma on keskuskulman vieruskulma \scriptstyle \measuredangle AOV = 180^\circ - \measuredangle BOA = 180^\circ - \theta

Kolmion \scriptstyle \triangle VAO kulmien summa on \scriptstyle \psi + \psi + 180^\circ - \theta = 180^\circ \Leftrightarrow \, \theta \, = \, 2\psi, aivan kuten kehäkulmalause väittääkin. Tähän tulokseen vedotaan kahdessa alemmassa osassa.

Keskuskulma mahtuu kokonaan kehäkulman sisälle[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Apukuvio todistukseen erikoistapauksessa, jossa keskuskulma mahtuu kehäkulman sisälle.

Piirretään kehäpisteestä V keskipisteen O kautta kulkeva halkaisija kehäpisteeseen E. Jana VE jakaa kaaren DC osiin DE ja EC. Huomataan, että

  • kaarta EC vastaavat keskuskulma \scriptstyle \measuredangle EOC ja kehäkulma \scriptstyle \measuredangle EVC. Tilanne on sama kuin todistuksen ensimmäisessä osassa, jolloin kehäkulman jänne ja sektorin säde olivat päällekkäin. Sen perusteella \scriptstyle \theta_2 \, = \, 2 \psi_2.
  • kaarta DE vastaavat keskuskulma \scriptstyle \measuredangle DOE ja kehäkulma \scriptstyle \measuredangle DVE. Silloin, kun vedotaan taas todistuksen ensimmäiseen osaan, on \scriptstyle \theta_1 \, = \, 2 \psi_1.
  • Kehäkulmaksi \scriptstyle \measuredangle DVC saadaan \scriptstyle \psi_0 \, = \, \psi_1 \, + \, \psi_1.

Keskuskulma \scriptstyle \measuredangle DOC = \, \theta_0 \, = \, \theta_1 \, + \, \theta_2 \, = \, 2\psi_1 \, + \, 2\psi_2 \, = \, 2(\psi_1\, + \, \psi_2) \, = \, 2\psi_0, aivan kuten kehäkulmalause väittääkin.

Keskuskulma mahtuu vain osittain kehäkulman sisälle[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Apukuvio todistukseen erikoistapauksessa, jossa keskuskulma mahtuu vain osittain kehäkulman sisälle.

Piirretään kehäpisteestä V keskipisteen O kautta kulkeva halkaisija kehäpisteeseen E. Jana VE osuu kaaren DC viereen muodostaen kaaret ED ja EC. Huomataan, että

  • kaarta EC vastaavat keskuskulma \scriptstyle \measuredangle EOC ja kehäkulma \scriptstyle \measuredangle EVC. Silloin, kun vedotaan uudestaan todistuksen ensimmäiseen osaan, on \scriptstyle \theta_0 \, = \, 2 \psi_0.
  • kaarta ED vastaavat keskuskulma \scriptstyle \measuredangle EOD ja kehäkulma \scriptstyle \measuredangle EVD. Silloin todistuksen ensimmäisen osan mukaisesti on \scriptstyle \theta_1 \, = \, 2 \psi_1.
  • Kehäkulmaksi \scriptstyle \measuredangle DVC saadaan \scriptstyle \psi_2 \, = \, \psi_0 \, - \, \psi_1.

Keskuskulma \scriptstyle \measuredangle DOC = \, \theta_2 \, = \, \theta_0 \, - \, \theta_1 \, = \, 2\psi_0 \, - \, 2\psi_1 \, = \, 2(\psi_0\, - \, \psi_1) \, = \, 2\psi_2, aivan kuten kehäkulmalause väittääkin.

Historia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Eukleideksen (noin 300 eaa.) kirjassa Alkeet käsitellään kehäkulmia 3. kirjassa väittämien 20, 21 ja 22 muodossa. Väittämät olivat "kehäkulma on puolet keskuskulmasta" [6], "samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat saman suuruiset" [7] ja "vastakkaisten kaarien kehäkulmien summa on 180°" [8].

Thales (636–546 eaa.) esitti oman lauseensa paljon aikaisemmin, mutta se oli kehäkulmalauseen erikoistapaus. Hän on kuitenkin oppinut sen kauppamatkoillaan Babyloniassa. Tämänkin lauseen Eukleides liitti Alkeisiin 3. kirjaan väittämäksi 33.[9]

Lähde[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b Weisstein, Eric W.: Inscribed Angle (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  2. Weisstein, Eric W.: Central Angle (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. MATHalino: Relationship Between Central Angle and Inscribed Angle
  4. Weisstein, Eric W.: Thales' Theorem (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. Alatupa, Sami et al.: Pitkä Sigma 3, s. 191-192. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Otava, 2008. ISBN 978-951-26-5927-2.
  6. Eukleides: Elementa, Book 3, Prop. 20, D.E.Joyce: Clark University, 1996
  7. Eukleides: Elementa, Book 3, Prop. 21, D.E.Joyce: Clark University, 1996
  8. Eukleides: Elementa, Book 3, Prop. 22, D.E.Joyce: Clark University, 1996
  9. Eukleides: Elementa, Book 3, Prop. 33, D.E.Joyce: Clark University, 1996