Brahmaguptan kaava

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Brahmaguptan kaavalla voidaan löytää geometriassa mielivaltaisen nelikulmion pinta-ala. Yleisimmässä erikoistapauksessaan sillä voidaan laskea jännenelikulmion pinta-ala.

Perusmuoto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Helpoiten muistettava muoto Brahmaguptan kaavasta antaa jännenelikulmion, jonka sivun pituudet ovat a, b, c ja d, pinta-alan:

\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)},

missä s on nelikulmion piirin puolikas:

s=\frac{a+b+c+d}{2}.[1][2]

Brahmaguptan kaavan todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jännenelikulmio

Jännenelikulmion pinta-ala = Kolmion \triangle ADB pinta-ala + kolmion \triangle BDC pinta-ala:

= \frac{1}{2}pq\sin A + \frac{1}{2}rs\sin C

Koska ABCD on jännenelikulmio, on \angle DAB = 180^\circ - \angle DCB. Siis \sin A = \sin C, joten

Ala = \frac{1}{2}pq\sin A + \frac{1}{2}rs\sin A
(Ala)^2 = \frac{1}{4}\sin^2 A (pq + rs)^2
4(Ala)^2 = (1 - \cos^2 A)(pq + rs)^2 \,
4(Ala)^2 = (pq + rs)^2 - cos^2 A (pq + rs)^2 \,

Soveltamalla kosinilausetta kolmioihin \triangle ADB ja \triangle BDC saadaan

p^2 + q^2 - 2pq\cos A = r^2 + s^2 - 2rs\cos C \,

Sijoittamalla \cos C = -\cos A (koska kulmat A ja C ovat toistensa suplementtikulmia) ja järjestelemällä termejä saadaan

2\cos A (pq + rs) = p^2 + q^2 - r^2 - s^2.

Sijoittamalla tämä pinta-alan kaavaan saadaan

4(Ala)2 = (pq + rs)^2 - \frac{1}{4}(p^2 + q^2 - r^2 - s^2)^2
16(Ala)^2 = 4(pq + rs)^2 - (p^2 + q^2 - r^2 - s^2)^2 \,

joka edelleen voidaan kirjoittaa muodossa

(2(pq + rs) + p^2 + q^2 -r^2 - s^2)(2(pq + rs) - p^2 - q^2 + r^2 +s^2) \,
= ( (p+q)^2 - (r-s)^2 )( (r+s)^2 - (p-q)^2 ) \,
= (p+q+r-s)(p+q+s-r)(p+r+s-q)(q+r+s-p) \,

Koska T = \frac{p+q+r+s}{2}, on

16(Ala)^2 = 16(T-p)(T-q)(T-r)(T-s) \,

ja lopulta

Ala = \sqrt{(T-p)(T-q)(T-r)(T-s)}

Brahmaguptan kaava yleisessä nelikulmiossa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yleisen nelikulmion pinta-alan laskemisessa tarvitaan sivujen pituuksien lisäksi tietää nelikulmion vastakkaisten kulmien summa:

\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2\theta}

missa \theta on puolet vastakkaisten kulmien summasta. Koska jännenelikulmion vastakkaisten kulmien summa on 180^\circ, voidaan yleistä kaavaa käyttää jännenelikulmion pinta-alan laskemiseen.

Erikoistapaus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Brahmaguptan kaavan erikoistapauksena saadaan Heronin kaava.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]