Brahmaguptan kaava

Brahmaguptan kaavalla voidaan löytää geometriassa mielivaltaisen nelikulmion pinta-ala. Yleisimmässä erikoistapauksessaan sillä voidaan laskea jännenelikulmion pinta-ala.

Perusmuoto

Helpoiten muistettava muoto Brahmaguptan kaavasta antaa jännenelikulmion, jonka sivun pituudet ovat a, b, c ja d, pinta-alan:

$\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)},$

missä s on nelikulmion piirin puolikas:

$s=\frac{a+b+c+d}{2}.$

Brahmaguptan kaavan todistus

Jännenelikulmio

Jännenelikulmion pinta-ala = Kolmion $\triangle ADB$ pinta-ala + kolmion $\triangle BDC$ pinta-ala:

$= \frac{1}{2}pq\sin A + \frac{1}{2}rs\sin C$

Koska $ABCD$ on jännenelikulmio, on $\angle DAB = 180^\circ - \angle DCB.$ Siis $\sin A = \sin C,$ joten

$Ala = \frac{1}{2}pq\sin A + \frac{1}{2}rs\sin A$

$(Ala)^2 = \frac{1}{4}\sin^2 A (pq + rs)^2$

$4(Ala)^2 = (1 - \cos^2 A)(pq + rs)^2 \,$

$4(Ala)^2 = (pq + rs)^2 - cos^2 A (pq + rs)^2 \,$

Soveltamalla kosinilausetta kolmioihin $\triangle ADB$ ja $\triangle BDC$ saadaan

$p^2 + q^2 - 2pq\cos A = r^2 + s^2 - 2rs\cos C \,$

Sijoittamalla $\cos C = -\cos A$ (koska kulmat $A$ ja $C$ ovat toistensa suplementtikulmia) ja järjestelemällä termejä saadaan

$2\cos A (pq + rs) = p^2 + q^2 - r^2 - s^2.$

Sijoittamalla tämä pinta-alan kaavaan saadaan

$4(Ala)2 = (pq + rs)^2 - \frac{1}{4}(p^2 + q^2 - r^2 - s^2)^2$

$16(Ala)^2 = 4(pq + rs)^2 - (p^2 + q^2 - r^2 - s^2)^2 \,$

joka edelleen voidaan kirjoittaa muodossa

$(2(pq + rs) + p^2 + q^2 -r^2 - s^2)(2(pq + rs) - p^2 - q^2 + r^2 +s^2) \,$

$= ( (p+q)^2 - (r-s)^2 )( (r+s)^2 - (p-q)^2 ) \,$

$= (p+q+r-s)(p+q+s-r)(p+r+s-q)(q+r+s-p) \,$

Koska $T = \frac{p+q+r+s}{2},$ on

$16(Ala)^2 = 16(T-p)(T-q)(T-r)(T-s) \,$

ja lopulta

$Ala = \sqrt{(T-p)(T-q)(T-r)(T-s)}$

Brahmaguptan kaava yleisessä nelikulmiossa

Yleisen nelikulmion pinta-alan laskemisessa tarvitaan sivujen pituuksien lisäksi tietää nelikulmion vastakkaisten kulmien summa:

$\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2\theta}$

missa $\theta$ on puolet vastakkaisten kulmien summasta. Koska jännenelikulmion vastakkaisten kulmien summa on $180^\circ$, voidaan yleistä kaavaa käyttää jännenelikulmion pinta-alan laskemiseen.

Erikoistapaus

Brahmaguptan kaavan erikoistapauksena saadaan Heronin kaava.

Aiheesta muualla

• MathWorld: Brahmagupta's formula