−1 (luku)

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

−1 on matematiikassa negatiivinen kokonaisluku, joka on suurempi kuin −2 ja pienempi kuin 0. Se on siis suurin negatiivinen kokonaisluku.

Luku −1 on luvun 1 vastaluku, jolloin -1 + 1 = 1 + (-1) = 0.

Luku -1 saadaan myös Eulerin yhtälöstä, kun \theta = \pi: e^{i \pi} = -1.

Algebrallisia ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kun jokin luku kerrotaan −1:llä, luvun etumerkki vaihtuu:

(-1) \cdot x = -x.

Toisin sanoen luku muuttuu vastaluvukseen, kun se kerrotaan luvulla -1.

Kun luku -1 kerrotaan itsellään saadaan 1: (-1)(-1) = 1. Tämä on toinen tapa sanoa, että luku 1 on luvun -1 vastaluku.

Kokonaislukupotenssit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kun luku -1 korotetaan parilliseen kokonaislukupotenssiin saadaan arvo 1: (-1)^{2n} = 1, n = 0, \pm 1, \pm 2,... . Korotettaessa lukua parittomaan kokonaislukupotenssiin saadaan arvo -1: (-1)^{2n+1} = -1, n = 0, \pm 1, \pm 2,... .

On määritelty, että x−1 = 1/x, mikä tarkoittaa sitä, että luvun korottaminen potenssiin −1 on sama kuin luvun muuttaminen käänteisluvukseen. Luku –1 on itsensä käänteisluku:

 (-1)^{-1} = {1 \over -1} = {(-1) 1 \over (-1)(-1)} = {-1 \over 1} = -1

Murtopotenssit: yhteys kompleksilukuihin[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kompleksilukujen teoriassa imaginaariyksikkö i on määritelty luvun –1 avulla:

 i^2 = -1 .

Toisin sanoen, vaikka luvulla -1 ei ole neliöjuurta reaalilukujen joukossa, sille voidaan määritellä neliöjuuri \sqrt{(-1)} = (-1)^{\frac{1}{2}} = i. Tämä johtaa kuntalaajennokseen: reaaliluvuista kompleksilukuihin.

Luku −1 liittyy Eulerin identiteettiin, sillä e^{i \pi} = -1 \,\!. Identiteetistä seuraa, että reaalilukupotenssiin korotus tuottaa yleisesti kompleksiluvun (jonka itseisarvo on 1):

(-1)^{x} = (e^{i\pi})^x = e^{i\pi x} = cos(x\pi) + i sin(x\pi)

Esimerkiksi jos taskulaskimessa ei ole kompleksilukumoodia, niin laskutoimitus (-1)^{1,23} ei onnistu.

Esimerkki käytöstä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Luvun –1 avulla voidaan mallintaa esim. jaksollista binääristä lukujonoa b(n), n = 0, 1, 2,...

Jono 0 1 0 1 0 1 ... saadaan aikaan mallilla

b(n) = {1 \over 2} [1 - (-1) ^ n]

Tilanmuutosten taajuutta voidaan säätää jakamalla indeksi n ja ottamalla lopputuloksesta kokonaislukuosa lattia-funktiolla. Esim. jono 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1... saadaan mallilla

b(n) = {1 \over 2} [1 - (-1) ^ \left \lfloor {n \over 3} \right \rfloor]

Jonon vaiheeseen voidaan vaikuttaa sijoittamalla indeksin n paikalle suurennettu tai pienennetty arvo, esimerkiksi

b(n) = {1 \over 2} [1 - (-1) ^ \left \lfloor {n+1 \over 3} \right \rfloor]

tuottaa jonon 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0...


Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.