Parillinen luku

Kokonaisluku on parillinen, jos se on jaollinen luvulla kaksi. Parillisuus oli alkujaan luonnollisen luvun ominaisuus, mutta kun negatiiviset luvut tulivat yleiseen käyttöön, laajennettiin sääntöä koskemaan myös niitä. Parillisuus oli siten kokonaisluvun itseisarvon ominaisuus.

Parilliset luonnolliset luvut ovat $\{0, 2, 4, 6, 8, \dots \}$ ja parilliset kokonaisluvut ovat $\{\dots, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, \dots \}$. Nämä muodostavat luonnollisten- ja kokonaislukujen osajoukon. Vielä pitkään sen jälkeen, kun nolla oli hyväksytty luvuksi, ei sitä pidetty parillisena. Nykyään se luetaan aina osaksi parillisia kokonaislukuja, mutta määritelmästä riippuu, kuuluuko se vielä parillisiin luonnollisiin lukuihin vai ei.

Luvut, jotka eivät ole parillisia, ovat parittomia.

Formaaliset määritelmät

Parillisen luvun $p_k$ voi muodostaa lausekkeella $p_k=2k$, missä $k$ on luonnollinen luku. Jos tulkitaan $k$ järjestysluvuksi, voidaan ajatella $p_k$:n olevan $k$:nnes parillinen luonnollinen luku. Esimerkiksi 103. parillinen luku on $p_{103}=2 \cdot 103 = 206$.

Parillisten luonnollisten lukujen joukko on mahtavuudeltaan numeroituvasti ääretön, koska se on yhtä mahtava joukko kuin luonnolliset luvut. Annettu joukkojen välinen kuvaus $f(n)=2n$ on bijektio, mikä riittää perusteluksi.

Kun parillisten lukujen $p_k$ määritelmässä sallitaan myös $k$:ksi kokonaisluvut, saadaan parilliset kokonaisluvut. Tämän osajoukon mahtavuus on myös numeroituvasti ääretön.

Parillisuustestit

Luvun parillisuus voidaan tutkia hyödyntämällä lukujen ominaisuuksia. Tämän mukaisesti luvun parillisuus johtuu luvun tekijästä 2, jonka vuoksi parillinen luku on jaollinen kahdella. Esimerkiksi luku 22 voidaan esittää tulona 2·11, jolloin luku on jaollinen kahdella: 22÷2 = 11.

Desimaalijärjestelmässä parillisella kokonaisluvulla on viimeinen numeromerkki aina jokin luvuista 0, 2, 4, 6 tai 8. Tämän mukaan luku 234 on parillinen ja 1331 taas pariton.

Kahdesti parillinen luku on parillinen jonka lisäksi myös sen puolikas parillinen. Luvulla on siten tekijöinään vähintään kaksi kakkosta eli luku on jaollinen neljällä. Se saadaan laskemalla lausekkeen $4k$ arvo edelliseen tapaan. Ne parilliset luvut, jotka eivät ole kahdesti parillisia, ovat yhdesti parilliset. Ne saadaan lausekkeella $4k+2.$

Parillisuuden voi ilmaista pariteettina. Kun parillisen luvun paritetti on 0 ja parillisen 1. Tietotekniikassa paritetti on helppo laskea lukujen binäärijärjestelmässä. Esimerkiksi luku 10 on parillinen, koska sen binääriesitys $1010_2$ sisältää kaksi ykköstä. Kahden ykkösen paritetti on $2 \text{ (mod 2) }\equiv 0.$

Aritmetiikkaa

Kahden luvun laskutoimitukset vaiktuttavat tuloksen parillisuuteen säännöllisillä tavoilla.

Kahden luvun summan ja erotuksen paritetti voidaan päätellä siitä, saadaanko yhteiseksi tekijäksi luku 2:

• parillinen ± parillinen = parillinen, koska $2k\pm2n = 2(k \pm n)$
• pariton ± parillinen = pariton, koska $(2k + 1)\pm 2n = 2(k \pm n)+1$ ja lukua kaksi ei saada yhteiseksi tekijäksi.
• parillinen ± pariton = pariton, koska $(2k)\pm (2n+1) = 2(k \pm n)\pm 1$ ja lukua kaksi ei saada yhteiseksi tekijäksi.
• pariton + pariton = parillinen, koska $(2k + 1) + (2n + 1) = 2(k+n)+2 = 2(k+n+1)$
• pariton - pariton = parillinen, koska $(2k + 1) - (2n + 1) = 2(k-n)-0 = 2(k-n)$

Kahden luvun tulon pariteetti voidaan päätellä samalla tavalla:

• parillinen $\cdot$ parillinen = parillinen, koska $2k \cdot 2n = 4kn = 2(2kn)$
• pariton $\cdot$ parillinen = parillinen, koska $(2k + 1) \cdot 2n = 2n(2k + 1)$
• pariton $\cdot$ pariton = pariton, koska $(2k + 1) \cdot (2n + 1) = 4kn + 2(k +n) + 1$ ja lukua kaksi ei saada yhteiseksi tekijäksi.

Kun jakolasku ei mene tasan, jolloin osamäärä on puhdas rationaaliluku, ei voida enää puhua parillisuudesta. Jos jakolasku menee tasan, jakaa nimittäjä $n$ osoittajan $m$ ja on siten eräs sen tekijä eli $m = pn$. Silloin

$\frac{m}{n}=\frac{pn}{n}=p$

ja osamäärän parillisuus riippuu ainoastaan osoittajan tekijästä $p$ eikä ollenkaan nimittäjästä $n$.

Lukuteorian tuloksia

Edellisestä parillisuustarkastelusta selviää, että kun laskutoimitukseen osallistuu vain parillisia lukuja, saadaan tulokseksi parillisia lukuja. Parillisten lukujen joukko on siten suljettu yhteen-, vähennys- ja kertolaskun suhteen.

Historia

Muun muassa Abraham Seidenberg on esittänyt, laskeminen on voinut saada alkuunsa tarkkaan harkituista heimorituaaleista, missä suuren ihmisjoukon hallinta olisi vaatinut osaanottajien laajempaa roolitusta. Melko pitkälle kehittyneiden seremonioiden hallinta on vaatinut osanottajien numerointia. Alkeellisesti elävien heimojen keskuudesta on havaittu laajalle levinnyt tapa, jossa osaaanottajat jaotellaan miehiin ja naisiin numeroimalla heidät parillisilla ja parittomilla luvuilla pareiksi. Samat heimot käyttävät 2-kantaista lukujärjestelmääkin muiden lukujärjestelmien rinnalla ja riitit saattavat olla tähän yhtenä syynä. Pythagoralaiset kuvasivat parillisia lukuja naisellisina ja parittomia miehisinä lukuina. .

Euklideen Elementan kirjassa XI, että "luku on parillinen, jos se voidaan puolittaa". Tämä alkeellinen määritelmä viittaa vanhaan tapaan hahmottaa luvut pikkukivillä, joita voitiin järjestellä kuvioiksi. Lukumäärää vastaava kivikasa voidaan siten puolittaa eli järjestää kahteen yhtäsuureen kasaan. Antiikin kreikkalaiset eivät pitäneet lukua yksi parillisena tai parittomana lukuna. Lukuja yksi ja kaksi eivät olleet alkulukuja, sillä niitä pidettiin parillisten ja parittomien lukujen synnyttäjinä.

Vielä antiikin aikana oli tapana mainita erikseen kokonaan parilliset luvut. Jerusalemin lähellä noin 100 jaa. eläneen uuspythagoralaisen Nikomakhos Gerasalaisen kirjoittamassa kirjassa Introductio arithmeticae esitellään parillisesti parilliset luvut, joilla tarkoitettiin kahden potensseja eli $2^n$, ja parillisesti parittomat luvut, joilla oli tekijänä pariton luku eli $2^n \cdot p$, missa $p > 1$ ja pariton luku.

Lähteet

• Fuchs, Walter R.: Matematiikka. Suom. Mattila, Pekka. Länsi-Saksa: Kirjayhtymä, 1968.
• Barrow John D.: Lukujen taivas. Suom. Vilikko, Risto. Smedjebacken, Ruotsi: Art House, 1999. ISBN 951-884-231-0.
• Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar - Matematiikan historia osa I ja II. Suom. Pietiläinen, Kimmo. Juva: Art House, 1994. ISBN 951-884-159-4.