Mercatorin projektio

Mercatorin projektio

Mercatorin projektio on flaamilaisen kartografin Gerhardus Mercatorin vuonna 1569 esittelemä, nykyisin yleisimmin käytetty lieriökarttaprojektio. Se on oikeakulmainen projektio, joten se on käyttökelpoinen erityisesti navigoinnissa. Projektiossa pituus- ja leveyspiirit kuvautuvat yhdensuuntaisina suorina siten, että pituuspiirien etäisyys toisistaan on vakio ja leveyspiirien etäisyys toisistaan kasvaa napoja kohti kuljettaessa.

Ei ole tiedossa, miten Mercator on karttaprojektion luonut. Projektion matemaattiseen konstruoimiseen tarvittavat menetelmät on kehitetty vasta myöhemmin.

Projektion konstruktio

Mercatorin projektiossa pituuspiirit ovat yhdensuuntaisia suoria. Todellisuudessa ne kuitenkin lähestyvät toisiaan napoja kohti mentäessä, ja niiden välimatka lyhenee samassa suhteessa kuin leveysasteen kosini. Tämä merkitsee sitä, että jos kartan länsi-itäsuuntainen mittakaava päiväntasaajalla on k, leveyspiirillä φ se on k / cos φ. Jotta projektio olisi oikea­kulmainen, se on muodostettu niin, että myös kartan pohjois-eteläsuuntainen mittakaava kasvaa päiväntasaajalta etäännyttäessä samassa suhteessa. Sen vuoksi eri leveyspiirit φ tulevat kartassa sellaiselle etäisyydelle päiväntasaajalta, että tämä etäisyyden derivaatta on kaikkialla yhtä kuin tämä mittakaava, eli tämä etäisyys voidaan esittää funktiona, jonka derivaatta on k / cos φ. Voidaan osoittaa, että pallopinnalla tällainen funktio on

${\begin{aligned}y={\frac {k}{2}}\ln \left({\frac {1+\sin(\phi )}{1-\sin(\phi )}}\right)\\\end{aligned}}$

Ellipsoidin pinnalla funktio on monimutkaisempi.

Mercatorin kartassa ei voida kuvata koko maapalloa napoja myöten, koska teoriassa sekä pohjois- että etelänapa joutuvat siinä äärettömän kauas. Melko yleisesti maailmankartat on katkaistu alareunassa 60. eteläisen, mutta yläreunassa vasta 80. pohjoisen leveyspiirin kohdalta, jolloin Etelämanner jää kokonaan kartan ulkopuolelle, mutta pohjoisessa kartta ulottuu Huippuvuorille saakka. Näin tehtäessä Eurooppa sijoittuu kartassa jokseenkin keskelle.

Käyttö merenkulussa

Mercatorin projektio on erityisen käyttökelpoinen merenkulussa, mikä selittää sen saavuttaman suosion. Siinä leveys- ja pituuspiirit ovat suoria ja kartta on oikeakulmainen, eli ilmansuuntien väliset kulmat ovat kaikkialla todellisuuden mukaisia. Erityisen tärkeää on, että muuttumatonta kurssia kulkevan aluksen kulkema reitti on kartalla suora. Maanpinnan loksodromit kuvautuvat siis suoriksi.

Isoympyränavigointiin projektio ei sovellu hyvin: Kartalla isoympyrä kuvautuu kaarena ja napojen kohdalla projektio on määrittelemätön. Tämän takia projektion merkitys lentoliikenteessä on pienempi kuin meriliikenteessä.

Kahden pisteen välinen isoympyrä (vihreä) ja loksodromi (punainen). Isoympyräreitin pituus noin 6810 km ja loksodromireitin noin 7030 km

Mittakaavavirhe

Todellisuudessa leveyspiirit ovat sitä lyhyempiä, mitä lähempänä napoja ne sijaitsevat ja pituuspiirit yhtyvät navoilla. Siten kartan mittakaava kasvaa länsi-itä-suunnassa napoja kohti. Jotta kulmat pysyisivät oikeansuuruisina, myös pohjois-eteläsuuntaista mittakaavaa kasvaa napoja kohti samassa suhteessa. Tästä seuraa, että kaukana päiväntasaajasta sijaitsevat alueet näkyvät Mercatorin projektion mukaan tehdyssä kartassa suhteettoman suurina verrattuna samansuuruisiin päiväntasaajan seudulla sijaitseviin alueisiin. Esimerkiksi Grönlanti näyttää suunnilleen Afrikan kokoiselta, vaikka todellisuudessa sen pinta-ala on alle 10 % Afrikan pinta-alasta. Myös Eurooppa näyttää Mercatorin kartassa suunnilleen Afrikan kokoiselta, vaikka todellisuudessa Euroopan pinta-ala on noin kolmasosa Afrikasta.

Mittakaavavirhe kasvaa nopeasti lähellä napaa. Esimerkiksi leveysasteella 70 mittakaava on noin 46 % suurempi kuin leveysasteella 60. Jos esimerkiksi Suomen alue kuvataan Mercator-projektiossa, Lappi näyttää pinta-alaltaan noin kaksinkertaiselta todellisuuteen nähden.

Suomi kuvattuna Mercator-projektiossa (vasemmalla) ja Gauss-Krüger-projektiossa (oikealla). Leveys- ja pituusasteruudukko piirretty asteen välein.

Merenkulussa muuttuvaa mittakaavaa ei yleensä pidetä merkittävänä ongelmana: Suurimittakaavaisilla kartoilla seikan merkitys on mitätön ja pienimittakaavaisilla kartoilla mittauksiin käytetään merikarttoihin yleensä painettavaa mittakaavan muuttumisen kartan alueella osoittavaa leveyasteikkoa.

Karttapohjoinen ja napapohjoinen

Koska projektiossa pituusasteet ovat kaikki yhdensuuntaisia ja osoittavat karttapohjoiseen, karttapohjoinen ja napapohjoinen yhtyvät koko kartan alueella ja siten napaluvunkorjaus on koko kartalla nolla.