Kuulat ovat topologiassa metrisen avaruuden osajoukkoja, jotka koostuvat niistä avaruuden pisteistä, jotka ovat metriikan määritelmään kuuluvan etäisyyden sisällä erikseen määritellystä avaruuden pisteestä. Toisin sanoen kuula on eräänlainen pallopinnan sisäänsä rajaama avaruus, erotuksena itse pallopinnasta.
Jos
on metrinen avaruus sekä
ja
, niin joukko
on avoin kuula, jonka keskipiste on
ja säde
sekä
on suljettu kuula, jonka keskipiste on
ja säde
.[1] Lisäksi määritellään joukko
,
joka on pallo samoilla keskipisteellä ja säteellä. Joukkoa
sanotaan myös pisteen
kuulaympäristöksi.[1]
Suljettu kuula muodostuu avoimesta kuulasta ja pallosta, joilla on sama keskipiste ja säde:
[1]
Avoin kuula on vastaavasti suljettu kuula, josta erotetaan pallo:
[1]
Pallo on vastaavasti suljettu kuula, josta erotetaan avoin kuula:
[1]
Metriikan määritelmästä johtuen
, joten kuulan keskipiste kuuluu aina sekä avoimeen että suljettuun kuulaan:
[1]
Metrisen avaruuden
osajoukossa
avointa kuulaa merkitään
:llä. Osajoukkoon voidaan kuitenkin määritellä vain sellaiset kuulat, jotka ''mahtuvat'' joukkoon
. Toisin sanoen
, jos ja vain, jos
(ja
). Näin ollen
.
Vastaava pätee myös suljetuille kuulille:
. [1]
Avaruudessa
, varustettuna metriikalla
, on avoin kuula
avoin väli:
Vastaavasti suljettu kuula
on suljettu väli:
Yksiulotteinen vastaava pallo koostuu puolestaan vain kahdesta reaaliluvusta:
Varustetaan avaruus
metriikalla
. Jos
, niin avoin kuula
on reunaton kiekko:
Vastaavasti suljettu kuula
on kiekko:
Erityisesti origokeskinen yksikkökiekko, jonka reunakäyrä on yksikköympyrä, on suljettu kuula
. Jos
, niin suljettu kuula
on se, mitä yleisessä mielessä tarkoitetaan kolmiulotteisella umpinaisella pallolla (esimerkiksi kuulantyönnössä käytettävä kuula):
Vastaavalle avoimelle kuulalle on hankalampi keksiä todellista kolmiulotteisen maailman vastinetta, sillä siitä pitäisi olla ''kuorittu'' pois äärettömän ohut pintakerros. Origokeskinen pallo, jonka säde on 1 on puolestaan yksikköpallo
.
Olkoon
mielivaltainen joukko. Asetetaan sille metriikka
Tällöin
[1]
- ↑ a b c d e f g h Väisälä, Jussi: Topologia I, s. 22−24. 3. korjattu painos. Helsinki: Limes ry, 2004. ISBN 951-745-204-7.