Kuula (matematiikka)

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Suljettu kuula eri normiavaruuksissa, kun normina käytetään euklidista normia

Kuulat ovat topologiassa metrisen avaruuden osajoukkoja, jotka koostuvat niistä avaruuden pisteistä, jotka ovat metriikan määritelmään kuuluvan etäisyyden sisällä erikseen määritellystä avaruuden pisteestä. Toisin sanoen kuula on eräänlainen pallopinnan sisäänsä rajaama avaruus, erotuksena itse pallopinnasta.

Jos on metrinen avaruus sekä ja , niin joukko

on avoin kuula, jonka keskipiste on ja säde sekä

on suljettu kuula, jonka keskipiste on ja säde .[1] Lisäksi määritellään joukko

,

joka on pallo samoilla keskipisteellä ja säteellä. Joukkoa sanotaan myös pisteen kuulaympäristöksi.[1]

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suljettu kuula muodostuu avoimesta kuulasta ja pallosta, joilla on sama keskipiste ja säde:

[1]

Avoin kuula on vastaavasti suljettu kuula, josta erotetaan pallo:

[1]

Pallo on vastaavasti suljettu kuula, josta erotetaan avoin kuula:

[1]

Metriikan määritelmästä johtuen , joten kuulan keskipiste kuuluu aina sekä avoimeen että suljettuun kuulaan:

[1]

Osajoukon kuulat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Metrisen avaruuden osajoukossa avointa kuulaa merkitään :llä. Osajoukkoon voidaan kuitenkin määritellä vain sellaiset kuulat, jotka ''mahtuvat'' joukkoon . Toisin sanoen , jos ja vain, jos (ja ). Näin ollen

.

Vastaava pätee myös suljetuille kuulille.[1]

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Avoin ja suljettu väli[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Avaruudessa , varustettuna metriikalla , on avoin kuula avoin väli:

Vastaavasti suljettu kuula on suljettu väli:

Kiekko ja kuula[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Varustetaan avaruus metriikalla . Jos , niin avoin kuula on reunaton kiekko:

Vastaavasti suljettu kuula on kiekko:

Erityisesti origokeskinen yksikkökiekko on suljettu kuula . Jos , niin suljettu kuula on se, mitä yleisessä mielessä tarkoitetaan kolmiulotteisella umpinaisella pallolla (esimerkiksi kuulantyönnössä käytettävä kuula):

Vastaavalle avoimelle kuulalle on hankalampi keksiä todellista kolmiulotteisen maailman vastinetta, sillä siitä pitäisi olla ''kuorittu'' pois äärettömän ohut pintakerros.

-metriikan kuula[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon mielivaltainen joukko. Asetetaan sille metriikka

Tällöin

[1]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c d e f g h Väisälä, Jussi: Topologia I, s. 22−24. 3. korjattu painos. Helsinki: Limes ry, 2004. ISBN 951-745-204-7.