Neliliikemäärä

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Neliliikemäärä on erityisen suhteellisuus­teorian mukainen klassisen kolmi­ulotteisen liikemäärän yleistys neliulotteisessa aika-avaruudessa. Liike­määrä on kolmi­ulotteinen vektorisuure, ja samaan tapaan nelivektori on aika-avaruuden nelivektori. Jos kolmi­ulotteinen liike­määrä on p = (px, py, pz) ja energia E, sen kontra­variantti neliliikemäärä on:


\mathbf{P} = \begin{pmatrix}
P^0 \\ P^1 \\ P^2 \\ P^3 
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
E/c \\ p_x \\ p_y \\ p_z 
\end{pmatrix}

Neli­liike­määrä on ­käyttö­kelpoinen suhteellisuus­teoreettisissa laskuissa, koska se on Lorentz-vektori. Se merkitsee, että on helppo jäljittää, miten se muuntuu Lorentz-muunnoksessa.

Edellä esitetty määritelmä pätee, kun koordinaatit määritellään siten, että x0 = ct. Joskus ne määritellään siten, että x0 = t, jolloin neli­liik­emäärän määritelmää on muutettava siten, että P0 = E/c2. On myös mahdollista määritellä kovariantti neli­liike­määrä Pμ, jossa energian etu­merkki on vaihdettu.

Minkowskin normi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kun lasketaan neliliikemäärän Minkowskin normi, saadaan Lorentz-invariantti suure, joka on suoraan verrannollinen kappaleen massan (lepomassan) neliöön:

-\|\mathbf{P}\|^2 = - P^\mu P_\mu = - \eta_{\mu\nu} P^\mu P^\nu = {E^2 \over c^2} - |\mathbf p|^2 = m^2c^2

kun noudatetaan käytäntöä, jonka mukaan

\eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

on erityisen suhteellisuus­teorian mukainen metrinen tensori. Suure ||P||2 on Lorentz-invariantti, mikä merkitsee, että sen arvo ei muutu Lorentz-muunnoksissa eli siirryttäessä toiseen koordinaatistoon.

Neliliikemäärä ja nelinopeus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Massallisen kappaleen neli­liike­määrä on sen invariantti massa m kerrottuna sen neli­nopeudella:

P^\mu = m \, U^\mu\!

missä nelinopeus on


\begin{pmatrix}
U^0 \\ U^1 \\ U^2 \\ U^3 
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
\gamma c \\ \gamma v_x \\ \gamma v_y \\ \gamma v_z 
\end{pmatrix}

Tässä

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}

on Lorentz-tekijä ja c valonnopeus.

Neliliikemäärän säilyminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Erityisessä suhteellisuus­teoriassa on voimassa neli­liike­määrän säilymislaki. Se yhdistää kaksi klassisen fysiikan mukaista säilymis­lakia:

  1. Kokonaisenergia E = P0c säilyy.
  2. Klassinen kolmiulotteinen liikemäärä p säilyy.


Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Herbert Goldstein: Classical mechanics. Reading, Mass.: Addison–Wesley Pub. Co., 1980. ISBN 0201029189.
  • L. D. Landau: The classical theory of fields. Oxford: Butterworth Heinemann, E. M. Lifshitz. ISBN 9780750627689.
  • Wolfgang Rindler,: Introduction to Special Relativity. Oxford: Oxford University Press, 1991. ISBN 0-19-853952-5.


Käännös suomeksi
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja vieraskielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Four-momentum
Tämä fysiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.