Nelinopeus

Nelinopeus on fysiikassa, varsinkin suhteellisuusteoriassa nelivektori eli neli­ulotteisen aika-avaruuden vektori, joka vastaa kolmi­ulotteisessa avaruudessa määriteltyä nopeutta.

Suhteellisuusteoriassa neliulotteisen aika-avaruuden pisteitä, tai pisteitä tietyllä hetkellä, nimitetään tapahtumiksi. Jokaista kohdetta esittää siihen liittyvä käyrä aika-avaruudessa, kohteen maailmanviiva, joka voidaan parametrisoida kohteen itseis­ajalla. Nelinopeus on kohteen neli­sijainnin muutosnopeus tällä käyrällä itseis­ajan suhteen. Kappaleen nopeus sitä vastoin on sen sijainnin muutos­nopeus kolmi­ulotteisessa avaruudessa sellaisena kuin sen havaitsee inertiaalijärjestelmässä oleva havaitsija oman aikansa suhteen.

Nelinopeus on näin ollen kohteen maailman­viivan normalisoitu ajan­luontoinen tulevaisuuteen osoittava tangenttivektori, ja se on kovariantti vektori. Vaikka se on vektori, kahden neli­nopeuden summa ei yleensä ole minkään kohteen mahdollinen neli­nopeus, minkä vuoksi mahdolliset neli­nopeudet eivät muodosta vektori­avaruutta.

Minkä tahansa kohteen nelinopeuden itseisarvo on aina valon­nopeuden (c) suuruinen. Koordinaatiston suhteen levossa olevan kohteen neli­nopeus on aika­koordinaatin suuntainen.

Nopeus

Kohteen rata kolmiulotteisessa avaruudessa inertiaalisessa vertailu­järjestelmässä voidaan esittää kolmen koordinaatti­funktion avulla:

$x^{i}(t),\;i\in \{1,2,3\}$ ajan $t$ funktiona:

${\vec {x}}=x^{i}(t)={\begin{bmatrix}x^{1}(t)\\x^{2}(t)\\x^{3}(t)\end{bmatrix}},$

missä luvut $x^{i}(t)$ tarkoittavat sijainnin kolmea avaruudellista koordinaattia hetkellä t.

Nopeuden ${\vec {u}}$ (käyrän tangentin) komponentit missä tahansa maailman­viivan pisteessä ovat

${\vec {u}}={\begin{bmatrix}u^{1}\\u^{2}\\u^{3}\end{bmatrix}}={d{\vec {x}} \over dt}={dx^{i} \over dt}={\begin{bmatrix}{\tfrac {dx^{1}}{dt}}\\{\tfrac {dx^{2}}{dt}}\\{\tfrac {dx^{3}}{dt}}\end{bmatrix}}.$

Suhteellisuusteoria

Einsteinin suhteellisuusteorian mukaan tietyn vertailu­järjestelmän suhteen liikkuvan kohteen radan määrittelee neljä koordinaatti­funktiota $x^{\mu }(\tau ),\;\mu \in \{0,1,2,3\}$, missä $x^{0}$ merkitsee aika­koordinaattia kerrottuna valon­nopeudella, ja jokainen funktio riippuu yhdestä parametrista $\tau$, jota sanotaan kohteen itseis­ajaksi.

$\mathbf {x} =x^{\mu }(\tau )={\begin{bmatrix}x^{0}(\tau )\\x^{1}(\tau )\\x^{2}(\tau )\\x^{3}(\tau )\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ct\\x^{1}(t)\\x^{2}(t)\\x^{3}(t)\\\end{bmatrix}}$

Aikadilaatio

Aikadilaatiosta tiedetään, että

$t=\gamma \tau \,$

missä $\gamma$ on Lorentzin tekijä, joka määritellään seuraavasti:

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}$

ja u on nopeusvektorin euklidinen normi ${\vec {u}}$:

$u=||\ {\vec {u}}\ ||={\sqrt {(u^{1})^{2}+(u^{2})^{2}+(u^{3})^{2}}}$.

Nelinopeuden määritelmä

Nelinopeus on maailman­viivan tangentin suuntainen neli­vektori. Nelinopeus missä tahansa maailman­viivan pisteessä $\mathbf {x} (\tau )$ määritellään seuraavasti:

$\mathbf {U} ={\frac {d\mathbf {x} }{d\tau }}$

missä $\mathbf {x}$ on nelivektorilla ilmaistu maailmanviivan pisteen sijainti aika-avaruudessa ja $\tau$ itseisaika.

Nelinopeutta ei voida määritellä valon­nopeudella liikkuville kohteille kuten fotoneille eikä myöskään valoa nopeammin liikkuville takyoneille, mikäli sellaisia on olemassa, sillä niiden maailman­viivan tangentti olisi paikan­luontoinen.

Nelinopeuden komponentit

Aika t ja koordinaattina ilmaistu aika $x^{0}$ vastaavat toisiaan yhtälön

$x^{0}=ct=c\gamma \tau \,$

mukaisella tavalla. Jos tästä otetaan derivaatta kohteen itseis­ajan $\tau \,$, suhteen, saadaan nopeuden komponentti $U^{\mu }\,$ tapauksessa μ = 0:

$U^{0}={\frac {dx^{0}}{d\tau }}=c\gamma$.

Käyttämällä ketjusääntöä komponenteille $\mu =i=$1, 2, 3, saadaan:

$U^{i}={\frac {dx^{i}}{d\tau }}={\frac {dx^{i}}{dx^{0}}}{\frac {dx^{0}}{d\tau }}={\frac {dx^{i}}{dx^{0}}}c\gamma ={\frac {dx^{i}}{d(ct)}}c\gamma ={1 \over c}{\frac {dx^{i}}{dt}}c\gamma =\gamma {\frac {dx^{i}}{dt}}=\gamma u^{i}$

missä on käytetty yhteyttä

$u^{i}={dx^{i} \over dt}.$

Täten nelinopeudelle $\mathbf {U}$ saadaan:

$\mathbf {U} =\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)$

Tiettyyn sileän aika-avaruuden alueeseen liittyvien mittakeppien ja synkronoitujen kellojen termein voidaan sanoa, että neli­nopeuden kolme paikan­luontoista komponenttia määrittelevät kohteen itseis­nopeuden $\gamma {\vec {u}}=d{\vec {x}}/d\tau$, toisin sanoen sen, kuinka nopeasti kohteen sijainti muuttuu vertailu­järjestelmän suhteen, kun aika mitataan itseisaikana sellaisen kellon avulla, joka kulkee kohteen mukana.

Lähteet

• Albert Einstein: Relativity: The Special and General Theory. New York: Alkuperäinen: Henry Holt, 1920; Uusintapainos: Prometheus Books, 1995, 1920.
• Introduction to Special Relativity (2nd). Oxford: Oxford University Press, 1991. ISBN 0-19-853952-5.