Valinta-aksiooma

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Valinta-aksiooma (engl. axiom of choice, lyh. AC) on matemaattisen joukko-opin aksiooma, jonka mukaan jokaiseen ei-tyhjien joukkojen kokoelmaan voidaan liittää uusi joukko siten, että kukin sen alkioista kuuluu vastaavaan joukkoon . Toisin sanoen voidaan muodostaa kuvaus, valintakuvaus, joka valitsee jokaisesta joukosta yhden alkion. Kaikissa tapauksissa, jos joukkoja on äärettämän monta, ei kuitenkaan voida muodostaa sääntöä, jonka mukaisesti alkiot kustakin joukosta valitaan, ja valinta-aksiooma osoittaakin ainoastaan, että tällainen valintakuvaus on olemassa, mutta sitä ei voida konstruoida.

Valinta-aksioomaa käytti ensimmäisenä eksplisiittisesti Ernst Zermelo vuonna 1904. Hänen esittämässään muodossa aksiooma kuuluu näin:

»Jokaista keskenään erillisten ei-tyhjien joukkojen joukkoa x kohti on olemassa joukko y joka sisältää täsmälleen yhden alkion jokaisesta x:n alkiosta»

Valinta-aksiooma voidaan ilmaista myös niin, että kun joukoista yksikään ei ole tyhjä, myöskään niiden karteesinen tulo ei ole tyhjä joukko.

Aksiomaattisessa joukko-opissa käytetään useimmiten aksioomina Zermelon-Fraenkelin aksioomia (ZF). Kun niihin lisätään valinta-aksiooma, saadusta aksioomakokoelmasta käytetään lyhennettä ZFC. Kurt Gödel todisti vuonna 1939, että valinta-aksiooma voidaankin ristiriidattomasti yhdistää Zermelon-Fraenkelin aksioomiin. Vuonna 1963 Paul Cohen toisaalta todisti, että sitä ei voida todistaa ZF-aksioomien avulla eli se on niistä riippumaton.

Yhtäpitäviä tuloksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Valinta-aksiooman avulla voidaan todistaa muun muassa seuraavat, sen kanssa yhtäpitävät tulokset, joita voidaan pitää myös valinta-aksiooman vaihtoehtoisina muotoiluina:

  • Zornin lemma: Jos H on järjestetty joukko ja sen jokaisella ketjulla on H:ssa pienin yläraja, niin H:lla on maksimaalinen alkio.
  • Hyvinjärjestyslause: jokainen joukko voidaan järjestää niin, että sen jokaisella osajoukolla on "pienin" tai ensimmäinen alkio.
  • Trikotomia: joukkoja voidaan aina vertailla mahtavuusjärjestyksessä, eli mille tahansa joukoille A ja B on aina joko , tai
  • Jokainen ääretön joukko A on yhtä mahtava karteesisen tulon A x A kanssa.

Käyttö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Matematiikan eri aloilla on runsaasti lauseita, jotka voidaan todistaa ainoastaan valinta-aksiooman avulla. Tällaisia ovat esimerkiksi seuraavat:

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Otavan suuri Ensyklopedia, 3. osa (Hasek-juuri), s. 2401, art. Joukko-oppi. Otava, 1978. ISBN 951-1-02232-6.
  • Jussi Väisälä: Topologia II, s. 73-77. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.