Valinta-aksiooma

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Valinta-aksiooma (engl. axiom of choice, lyh. AC) on matemaattisen joukko-opin aksiooma, jonka mukaan jokaiseen ei-tyhjien joukkojen kokoelmaan (S_i)_{i \in I} voidaan liittää uusi joukko (x_i)_{i \in I} siten, että kukin sen alkioista x_i kuuluu vastaavaan joukkoon \in S_i. Toisin sanoen voidaan muodostaa kuvaus, valintakuvaus, joka valitsee jokaisesta joukosta yhden alkion. Kaikissa tapauksissa, jos joukkoja S_i on äärettämän monta, ei kuitenkaan voida muodostaa sääntöä, jonka mukaisesti alkiot kustakin joukosta valitaan, ja valinta-aksiooma osoittaakin ainoastaan, että tällainen valintakuvaus on olemassa, mutta sitä ei voida konstruoida.

Valinta-aksiooma käytti ensimmäisenä eksplisiittisesti Ernst Zermelo vuonna 1904. Hänen esittämässään muodossa aksiooma kuuluu näin:

»Jokaista keskenään erillisten ei-tyhjien joukkojen joukkoa x kohti on olemassa joukko y joka sisältää täsmälleen yhden alkion jokaisesta x:n alkiosta»

Valinta-aksiooma voidaan ilmaista myös niin, että kun joukoista S_i yksikään ei ole tyhjä, myöskään niiden karteesinen tulo ei ole tyhjä joukko.

Aksiomaattisessa joukko-opissa käytetään useimmiten aksioomina Zermelon-Fraenkelin aksioomia (ZF). Kun niihin lisätään valinta-aksiooma, saadusta aksioomakokoelmasta käytetään lyhennettä ZFC. Kurt Gödel todisti vuonna 1939, että valinta-aksiooma voidaankin ristiriidattomasti yhdistää Zermelon-Fraenkelin aksioomeihin. Vuonna 1963 Paul Cohen toisaalta todisti, että sitä ei voida todistaa ZF-aksioomien avulla eli se on niistä riippumaton.

Yhtäpitäviä tuloksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Valinta-aksiooman avulla voidaan todistaa muun muassa seuraavat, sen kanssa yhtäpitävät tulokset, joita voidaan pitää myös valinta-aksiooman vaihtoehtoisina muotoiluina:

Käyttö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Matematiikan eri aloilla on runsaasti lauseita, jotka voidaan todistaa ainoastaan valinta-aksiooman avulla. Tällaisia ovat esimerkiksi seuraavat:

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Otavan suuri Ensyklopedia, 3. osa (Hasek-juuri), s. 2401, art. Joukko-oppi. Otava, 1978. ISBN 951-1-02232-6.
  • Jussi Väisälä: Topologia II, s. 73-77. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.