Ero sivun ”Hermiittinen matriisi” versioiden välillä

[arvioimaton versio]

Poistettu sisältö Lisätty sisältö

Rivinsisäinen

Versio 12. lokakuuta 2010 kello 21.31

Hermiittinen matriisi on neliömatriisi, jonka alkiot ovat kompleksilukuja ja joka on itsensä adjungoitu matriisi. Toisin sanoen rivillä i ja sarakkeella j oleva alkio on rivillä j ja sarakkeella i olevan alkion kompleksikonjugaatti:

a_{i,j}={\overline {a_{j,i}}}

Voidaan myös merkitä:

A=A^{*}\quad

,

tai kuten on tavallisempaa fysiikassa

A=A^{\dagger }\,.

Esimerkiksi

{\begin{bmatrix}3&2+i\\2-i&1\end{bmatrix}}

on hermiittinen matriisi.

Jokaisen hermiittisen matriisin päädiagonaalin alkiot ovat aina reaalilukuja. Matriisi, jonka kaikki alkiot ovat reaalilukuja, on hermiittinen vain, jos se on symmetrinen matriisi, eli jos se on symmetrinen päädiagonaalin suhteen. Reaalinen symmetrinen matriisi on täten erikoistapaus hermiittisestä matriisista.

Jokainen hermiittinen matriisi on normaali, joten siihen voidaan soveltaa spektraalilausetta. Sen mukaan jokainen hermiittinen matriisi voidaan diagonalisoida unitaarisen matriisin avulla ja syntyneen diagonaalimatriisin alkiot ovat reaalilukuja. Tästä seuraa kaksi keskeistä tulosta:

Hermiittisen matriisin ominaisarvot ovat reaalisia.
Eri suuruisten ominaisarvojen muodostamat ominaisvektorit ovat toisiinsa nähden ortogonaalisia.

On siis mahdollistä löytää $\mathbb {C} ^{n}$ :n ortonormaali kanta, joka koostuu yksinomaan hermiittisen matriisin ominaisvektoreista.

Kahden hermiittisen matriisin summa on hermiittinen matriisi ja kääntyvä matriisi kääntyvän hermiittisen matriisin käänteismatriisi on hermiittinen. Hermiittisten matriisien A ja B tulo on hermiittinen vain jos matriisit kommutoivat, eli $AB=BA\,$ .

Hermiittiset n×n matriisit muodostavat vektoriavaruuden reaalilukujen suhteen, mutta eivät kompleksilukujen suhteen. Tämän vektoriavaruuden dimensio on n². (Yksi vapausaste päälävistäjän alkiota kohti ja kaksi vapausastetta lävistäjän yläpuolella olevaa alkiota kohti.) Jos hermiittisen matriisin kaikki ominaisarvot ovat positiivisia, matriisia kutsutaan positiivisesti definiitiksi. Jos taas kaikki ovat epänegatiivisia, on matriisi positiivisesti semidefiniitti.

@@ Rivi 1: / Rivi 1: @@
-'''Hermiittinen matriisi''' on [[neliömatriisi]], jonka alkiot ovat [[kompleksiluku]]ja ja joka on itsensä [[konjugaattinen transpoosi]], eli alkio rivillä ''i'' ja sarakkeella ''j'' on alkion rivillä ''j'' ja sarakkeella ''i'' kompleksikonjugaatti:
+'''Hermiittinen matriisi''' on [[neliömatriisi]], jonka alkiot ovat [[kompleksiluku]]ja ja joka on itsensä [[adjungoitu matriisi]].  Toisin sanoen rivillä ''i'' ja sarakkeella ''j'' oleva alkio on rivillä ''j'' ja sarakkeella ''i'' olevan alkion [[kompleksikonjugaatti]]:
 :<math>a_{i,j} = \overline{a_{j,i}}</math>
 Voidaan myös merkitä:
-:<math> A = A^* \quad </math>.
+:<math> A = A^* \quad </math>,
+tai kuten on tavallisempaa fysiikassa
+:<math> A = A^\dagger\,.</math>
 Esimerkiksi
@@ Rivi 11: / Rivi 14: @@
 on hermiittinen matriisi.
-Selvästi hermiittisen matriisin [[päädiagonaali]]n alkiot ovat aina reaalilukuja. Matriisi, jonka kaikki alkiot ovat reaalilukuja, on hermiittinen vain jos se on [[symmetrinen matriisi]], eli se on symmetrinen päädiagonaalin suhteen. Reaalinen symmetrinen matriisi on täten erikoistapaus hermiittisestä matriisista.
+Jokaisen hermiittisen matriisin [[päädiagonaali]]n alkiot ovat aina [[reaaliluku]]ja. Matriisi, jonka kaikki alkiot ovat reaalilukuja, on hermiittinen vain, jos se on [[symmetrinen matriisi]], eli jos se on symmetrinen päädiagonaalin suhteen. Reaalinen symmetrinen matriisi on täten erikoistapaus hermiittisestä matriisista.
-Jokainen hermiittinen matriisi on [[normaali matriisi|normaali]], kuten [[spektraalilause]]esta nähdään. Sen mukaan jokainen hermiittinen matriisi voidaan [[diagonaalinen matriisi|diagonalisoida]] [[unitaarinen matriisi|unitaariseksi matriisiksi]] ja syntyneen matriisin alkiot ovat reaalilukuja. Siten nähdään kaksi keskeistä tulosta:
+Jokainen hermiittinen matriisi on [[normaali matriisi|normaali]], joten siihen voidaan soveltaa [[spektraalilause]]tta. Sen mukaan jokainen hermiittinen matriisi voidaan [[diagonaalinen matriisi|diagonalisoida]] [[unitaarinen matriisi|unitaarisen matriisin]] avulla ja syntyneen diagonaalimatriisin alkiot ovat reaalilukuja. Tästä seuraa kaksi keskeistä tulosta:
 *Hermiittisen matriisin [[ominaisarvo]]t ovat reaalisia.
-*Eri ominaisarvojen muodostamat ominaisvektorit ovat [[ortogonaalisuus|ortogonaalisia]].
+*Eri suuruisten ominaisarvojen muodostamat [[ominaisvektori]]t ovat toisiinsa nähden [[ortogonaalinen matriisi|ortogonaalisia]].
 On siis mahdollistä löytää <math>\mathbb{C}^n</math>:n [[kanta|ortonormaali kanta]], joka koostuu yksinomaan hermiittisen matriisin ominaisvektoreista.
-Kahden hermiittisen matriisin summa on hermiittinen matriisi ja kääntyvän hermiittisen matriisin käänteismatriisi on hermiittinen. Hermiittisten matriisien ''A'' ja ''B'' tulo on hermiittinen vain jos matriisit kommutoivat, eli <math>AB = BA\,</math>.
+Kahden hermiittisen matriisin summa on hermiittinen matriisi ja [[kääntyvä matriisi]] kääntyvän hermiittisen matriisin käänteismatriisi on hermiittinen. Hermiittisten matriisien ''A'' ja ''B'' tulo on hermiittinen vain jos matriisit [[vaihdannaisuus|kommutoivat]], eli <math>AB = BA\,</math>.
-Hermiittiset ''n''&times;''n'' matriisit muodostavan [[reaaliluku]]jen suhteen [[vektoriavaruus|vektoriavaruuden]], mutta ei [[kompleksiluku]]jen suhteen. Tämän vektoriavaruuden [[dimensio]] on ''n''<sup>2</sup>. (Yksi [[vapausaste]] päälävistäjän alkiota kohti ja kaksi vapausastetta lävistäjän yläpuolella olevaa alkiota kohti.) Jos hermiittisen matriisin kaikki ominaisarvot ovat positiivisia, matriisia kutsutaan [[Positiivisesti definiitti matriisi|positiivisesti definiitiksi]]. Jos taas kaikki ovat epänegatiivisia, on matriisi [[positiivisesti semidefiniitti matriisi|positiivisesti semidefiniitti]].
+Hermiittiset ''n''&times;''n'' matriisit muodostavat [[vektoriavaruus|vektoriavaruuden]] [[reaaliluku]]jen suhteen, mutta eivät [[kompleksiluku]]jen suhteen. Tämän vektoriavaruuden [[dimensio]] on ''n''<sup>2</sup>. (Yksi [[vapausaste]] päälävistäjän alkiota kohti ja kaksi vapausastetta lävistäjän yläpuolella olevaa alkiota kohti.) Jos hermiittisen matriisin kaikki ominaisarvot ovat positiivisia, matriisia kutsutaan [[Positiivisesti definiitti matriisi|positiivisesti definiitiksi]]. Jos taas kaikki ovat epänegatiivisia, on matriisi [[positiivisesti semidefiniitti matriisi|positiivisesti semidefiniitti]].
 [[Luokka:Lineaarialgebra]]

Ero sivun ”Hermiittinen matriisi” versioiden välillä

Versio 12. lokakuuta 2010 kello 21.31

Navigointivalikko

Haku