Positiivisesti definiitti matriisi

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Positiivisesti definiitti matriisi on hermiittinen matriisi, jolla on monia samoja ominaisuuksia kuin positiivisilla reaaliluvuilla. [1] Termin kanssa samantapainen termi on positiivisesti definiitti symmetrinen bilineaarinen muoto (eli seskvilineaarinen muoto, kompleksimatriisien tapauksessa).

Yhtäpitäviä määritelmiä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon kokoa oleva hermiittinen matriisi. Seuraavassa merkitään matriisin tai vektorin transpoosia :llä ja konjugaattista transpoosia :llä. Matriisin sanotaan olevan positiivisesti definiitti, jos sillä on yksikin (ja siten kaikki) seuraavista yhtäpitävistä ominaisuuksista:

1. Kaikilla nollasta poikkeavilla vektoreilla on voimassa
.

Huomaa, että on aina reaalinen.

2. Kaikki :n ominaisarvot ovat positiivisia. (Hermiittisen matriisin ominaisarvot ovat reaalisia.)
3. Muoto

määrittää sisätulon :ssä. (Itse asiassa jokainen :n sisätulo muodostaa hermiittisen positiivisesti semidefiniitin matriisin.)

4. Sylvesterin kriteerio: Kaikilla matriisin vasemmasta yläkulmasta alkaen muodostettujen -matriisien determinantti on positiivinen.

Analogiset väitteet ovat voimassa, jos on reaalinen symmetrinen matriisi korvaamalla :llä ja konjugaattinen transpoosi transpoosilla.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 856 (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.