Positiivisesti definiitti matriisi

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Positiivisesti definiitti matriisi on hermiittinen matriisi, jolla on monia samoja ominaisuuksia kuin positiivisilla reaaliluvuilla. Termin kanssa samantapainen termi on positiivisesti definiitti symmetrinen bilineaarinen muoto (eli seskvilineaarinen muoto, kompleksimatriisien tapauksessa).

Yhtäpitäviä määritelmiä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon M kokoa n\times n oleva hermiittinen matriisi. Seuraavassa merkitään matriisin tai vektorin A transpoosia A^{T}:llä ja konjugaattista transpoosia A^{*}:llä. Matriisin M sanotaan olevan positiivisesti definiitti, jos sillä on yksikin (ja siten kaikki) seuraavista yhtäpitävistä ominaisuuksista:

1. Kaikilla nollasta poikkeavilla vektoreilla z \in \mathbb{C}^n on voimassa
\textbf{z}^{*} M \textbf{z} > 0.

Huomaa, että z^{*} M z on aina reaalinen.

2. Kaikki M:n ominaisarvot ovat positiivisia. (Hermiittisen matriisin ominaisarvot ovat reaalisia.)
3. Muoto
\langle \textbf{x},\textbf{y}\rangle = \textbf{x}^{*} M \textbf{y}

määrittää sisätulon \mathbb{C}^n:ssä. (Itse asiassa jokainen \mathbb{C}^n:n sisätulo muodostaa hermiittisen positiivisesti semidefiniitin matriisin.)

4. Sylvesterin kriteerio: Kaikilla 0 < m \leq n matriisin M vasemmasta yläkulmasta alkaen muodostettujen m\times m-matriisien determinantti on positiivinen.

Analogiset väitteet ovat voimassa, jos M on reaalinen symmetrinen matriisi korvaamalla \mathbb{C}^n \mathbb{R}^n:llä ja konjugaattinen transpoosi transpoosilla.