Positiivisesti definiitti matriisi

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Positiivisesti definiitti matriisi on hermiittinen matriisi, jolla on monia samoja ominaisuuksia kuin positiivisilla reaaliluvuilla. Termin kanssa samantapainen termi on positiivisesti definiitti symmetrinen bilineaarinen muoto (eli seskvilineaarinen muoto, kompleksimatriisien tapauksessa).

Yhtäpitäviä määritelmiä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon kokoa oleva hermiittinen matriisi. Seuraavassa merkitään matriisin tai vektorin transpoosia :llä ja konjugaattista transpoosia :llä. Matriisin sanotaan olevan positiivisesti definiitti, jos sillä on yksikin (ja siten kaikki) seuraavista yhtäpitävistä ominaisuuksista:

1. Kaikilla nollasta poikkeavilla vektoreilla on voimassa
.

Huomaa, että on aina reaalinen.

2. Kaikki :n ominaisarvot ovat positiivisia. (Hermiittisen matriisin ominaisarvot ovat reaalisia.)
3. Muoto

määrittää sisätulon :ssä. (Itse asiassa jokainen :n sisätulo muodostaa hermiittisen positiivisesti semidefiniitin matriisin.)

4. Sylvesterin kriteerio: Kaikilla matriisin vasemmasta yläkulmasta alkaen muodostettujen -matriisien determinantti on positiivinen.

Analogiset väitteet ovat voimassa, jos on reaalinen symmetrinen matriisi korvaamalla :llä ja konjugaattinen transpoosi transpoosilla.