Lp-avaruus

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa Lp-avaruudet ovat funktioavaruuksia, jotka ovat p-normilla varustettujen äärellisulotteisten vektoriavaruuksien luonnollisia yleistyksiä.

Lp-avaruuksia kutsutaan myös Lebesgue-avaruuksiksi Henri Lebesguen mukaan [1], joskin Bourbakin[2] mukaan ne esitteli ensimmäisenä Riesz[3].

Lp-avaruudet ovat tärkeitä Banach-avaruuksia funktionaalianalyysissä ja siten tärkeitä topologisia vektoriavaruuksia. Niillä on sovelluksia fysiikassa, tilastotieteessä, taloustieteessä, tekniikassa ja muilla aloilla.

Motivaatio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Eri p-normien yksikköympyröiden kuvaajia (eli pisteet, joihin origista piirretyn vektorin p-normi on 1').
Yksikköympyrä (superellipsi) p = 3/2 -normilla

Tässä osiossa määritellään reaaliset äärellisulotteiset Lp-avaruudet eli Lp-normit reaaliselle vektoriavaruudelle Rn. Kahden vektorin summa avaruudessa Rn määritellään

\ (x_1, x_2, \dots, x_n) + (y_1, y_2, \dots, y_n) = (x_1+y_1, x_2+y_2, \dots, x_n+y_n),

ja skalaarilla (eli reaaliluvulla) \lambda kertominen

\ \lambda(x_1, x_2, \dots, x_n)=(\lambda x_1, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n).

Vektorin x = (x1, x2, …, xn) pituus määritellään yleensä Euklidisella normilla

\ \|x\|_2=\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right)^{1/2},

mutta on monia erilaisia tapoja määritellä vektorin x pituus. Jos p on reaaliluku, p ≥ 1, niin vektorin x Lp-normi määritellään

\ \|x\|_p=\left(|x_1|^p+|x_2|^p+\cdots+|x_n|^p\right)^{1/p}.

Näin ollen L2 on tavallinen Euklidinen normi ja etäisyys L1 on koordinaattien erojen summa).

Tämä on tapana laajentaa arvolle p = ∞ määrittelemällä

\ \|x\|_\infty=\max \left\{|x_1|, |x_2|, \ldots, |x_n|\right\},

mikä on sama kuin raja-arvo Lp-normista, kun p lähestyy ääretöntä.

Voidaan todistaa, että kaikilla arvoilla p ≥ 1 tämä määritelmä toteuttaa kaikki "pituusmitan" eli normin määritelmän ehdot.

Millä tahansa arvolla p ≥ 1 avaruus Rn varustettuna Lp-normilla (eli p-normilla) on Banach-avaruus.

Kun 0 < p < 1[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Astroidi eli yksikköympyrä p = 2/3 -metriikassa

Avaruudessa Rn, kun n > 1, kaava

\ \|x\|_p=\left(|x_1|^p+|x_2|^p+\cdots+|x_n|^p\right)^{1/p}

ei toteuta kolmioepäyhtälöä, joten se ei ole normi. Silti funktio

d_p(x,y) = \sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^p

määrittelee metriikan eli etäisyysmitan. Metrisesta avaruudesta (Rn, dp) käytetään merkintää ℓnp. Tämä metriikka määrittelee saman topologian kuin tavallinenkin topologia; kyseinen avaruus on lokaalisti konveksi topologinen vektoriavaruus, vaikka sen yksikköpallo onkin konkaavi.

p-avaruudet [muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pääartikkeli: jonoavaruudet

Tämä p-normi voidaan yleistää jonoille eli vektoreille, joilla on äärettömän monta koordinaattia (komponenttia). Näin syntyvästä avaruudesta käytetään nimitystä p. Tämän erikoistapauksia ovat:

  • 1, niiden absoluuttisesti summautuvien jonojen avaruus eli niiden jonojen, joiden muodostama sarja on absoluuttisesti konvergoiva,
  • 2, neliösummautuvien jonojen avaruus, tärkeä Hilbert-avaruus, ja
  • , rajoitettujen jonojen avaruus.

Tämä p-normi määritellään

\ \|x\|_p=\left(|x_1|^p+|x_2|^p+\cdots+|x_n|^p+|x_{n+1}|^p+\cdots\right)^{1/p}.

Jos normi on ääretön, x ei kuulu avaruuteen p.

Vastaavasti ∞-normi määritellään

\ \|x\|_\infty=\sup(|x_1|, |x_2|, \dots, |x_n|,|x_{n+1}|, \dots).

Voidaan todistaa, että

\ \|x\|_\infty=\lim_{p\to\infty}\|x\|_p,

jos oikea puoli on äärellinen tai vasen puoli on ääretön. Kaikki nämä ℓp-avaruudet ovat Banach-avaruuksia.

Alla esitetään kaikkien yleisin tapaus, jossa vektorit x ovatkin funktioita f ja niillä voi olla miten paljon "koordinaatteja" tahansa, jopa ylinumeroituva määrä. Tällöin normin määritelmässä tietenkin korvataan summa integraalilla. Onhan summa vain Lebesguen integraalin erikoistapaus.

Lp-avaruudet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon 1 ≤ p < ∞ ja olkoon (S, Σ, μ) mitta-avaruus. \mathcal{L}^p(S, \mu)-avaruus (ei normiavaruus ja eri asia kuin Lp-avaruus) on kaikkien niiden mitallisten funktioiden S\rightarrowC (tai S\rightarrowR) joukko, joiden itseisarvon p:nnen potenssin integraali on äärellinen eli

\|f\|_p := \left({\int_S |f|^p\;\mathrm{d}\mu}\right)^{1/p}<\infty.

Tämä avaruus on vektoriavaruus operaatioilla

(f+g)(x)=f(x)+g(x) \ \ \ \text{ja} \ \ \ (\lambda f)(x) = \lambda f(x) \,

kaikilla skalaareilla λ.

Minkowskin epäyhtälö sanoo, että kolmioepäyhtälö pätee normille || . ||p. Niinpä tämä avaruus \mathcal{L}^p(S, \mu) on seminormiavaruus. Siitä saadaan Banach-avaruus {L}^p(S, \mu) samaistamalla toisiinsa ne funktiot, joiden erotuksen seminormi on nolla eli jotka eroavat toisistaan vain nollamitallisessa joukossa. Siis {L}^p(S, \mu) on

L^p(S, \mu) := \mathcal{L}^p(S, \mu) / N,

missä

N := \mathrm{ker}(\|\cdot\|_p) = \{f : f = 0 \ \mu\text{- melkein kaikkialla} \}.

Avaruus L(S, μ) määritellään vastaavasti essential supremum -normilla

\|f\|_\infty := \inf \{ C\ge 0 : |f(x)| \le C \mbox{ melkein kaikilla } x\}.

Jälleen

\|f\|_\infty=\lim_{p\to\infty}\|f\|_p,

jos fL(S, μ) ∩ Lq(S, μ) jollain q < ∞.

Arvoilla 1 ≤ p ≤ ∞ avaruus Lp(S, μ) on Banach-avaruus. Rieszin-Fischerin lause sanoo, että se on täydellinen.

Usein avaruuden nimi lyhennetään Lp(μ) tai Lp.

Kaikki yllä esitetty pätee myös yleisille Bochner-avaruuksille eli sellaisten funktioiden Lp-avaruuksille, joiden arvot eivät ole reaali- tai kompleksilukuja vaan jonkin tietyn Banach-avaruuden alkioita. Eräille muunarvoisillekin funktioille osa yllä esitetystä on yleistetty.

Erikoistapauksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kuten ℓ2-avaruus, myös avaruus L2 on luokkansa ainoa Hilbert-avaruus (ja ainoa, jonka normi on yhteensopiva jonkin sisätulon kanssa). Kompleksiarvoisille funktioille L2-sisätulo määritellään

 \langle f, g \rangle = \int_S f(x) \overline{g(x)} \, \mathrm{d}\mu(x).

Kompleksitapauksessa L on kommutatiivinen C*-algebra.

p-avaruudet (1 ≤ p ≤ ∞) ovat erikoistapaus Lp-avaruuksista, jossa joukko S on positiivisten kokonaislukujen joukko N ja mitta μ on lukumäärämitta. Yleisemminkin mille tahansa joukolle S avaruutta L p lukumäärämitalla merkitään ℓp(S).

Mikä tahansa Hilbert-avaruus on lineaarisesti isomorfinen avaruuden ℓ2(V) kanssa, missä V on mainitun Hilbert-avaruuden Hilbert-kanta tai mikä tahansa sen kanssa yhtä mahtava joukko.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Adams, Robert A. & Fournier, John F. (2003). Sobolev Spaces, 2nd, Academic Press. ISBN 978-0120441433. 
  • Bourbaki, Nicolas (1987). Topological vector spaces, Elements of mathematics. Springer-Verlag. ISBN 978-3540136279. 
  • (1958) Linear operators, volume I. Wiley-Interscience. 
  • Duren, P. (1970). Theory of Hp-Spaces. Academic Press. 
  • Grafakos, Loukas (2004). Classical and Modern Fourier Analysis. Pearson Education, Inc., 253–257. ISBN 0-13-035399-X. 
  • (1965) Real and abstract analysis. Springer-Verlag. 
  • (1984) An F-space sampler, London Mathematical Society Lecture Note Series, 89. Cambridge University Press, xii+240. ISBN 0-521-27585-7. 
  • Riesz, Frigyes (1910). "Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen" 69: 449–497. 
  • Titchmarsh, EC (1976). The theory of functions. Oxford University Press. ISBN 9780198533498. 

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Dunford & Schwartz, 1958, III.3
  2. Bourbaki 1987
  3. Riesz 1910