Minkowskin epäyhtälö

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Analyysissä Minkowskin epäyhtälön mukaan Lp-avaruudet ovat normiavaruuksia. Olkoon S mitallinen avaruus, 1 ≤ p ≤ ∞ ja f, g Lp(S):n funktioita. Tällöin f + g kuuluu Lp(S):ään ja

\|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p,

missä yhtäsuuruus pätee jos ja vain jos f ja g ovat lineaarisesti riippumattomia.

Minkowskin epäyhtälö on siis Lp(S)-avaruuden kolmioepäyhtälö. Se voidaan todistaa Hölderin epäyhtälön avulla.

Kuten Hölderin epäyhtälö, Minkowskin epäyhtälölle saadaan diskreetin mitan suhteen muotoon:

\left( \sum_{k=1}^n |x_k + y_k|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p \right)^{1/p}

kaikille reaali- tai kompleksiluvuille x1, ..., xn, y1, ..., yn, missä n on S:n dimensio.

Tilastotieteessä Minkowskin epäyhtälö kuuluu seuraavasti[1]: Olkoot X ja Y kaksi satunnaismuuttujaa. Tällöin kaikilla 1\leq p<\infty on voimassa

\left(E|X+Y|^p\right )^{1/p} \le \left( E|X|^p \right)^{1/p} + \left( E|X|^p \right)^{1/p})

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. George Casella, Roger L. Berger: Statistical Inference, Duxbury advanced series, International student edition