Minkowskin epäyhtälö

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Analyysissä Minkowskin epäyhtälön mukaan Lp-avaruudet ovat normiavaruuksia. Olkoon S mitallinen avaruus, 1 ≤ p ≤ ∞ ja f, g Lp(S):n funktioita. Tällöin f + g kuuluu Lp(S):ään ja

\|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p,

missä yhtäsuuruus pätee jos ja vain jos f ja g ovat lineaarisesti riippumattomia.

Minkowskin epäyhtälö on siis Lp(S)-avaruuden kolmioepäyhtälö. Se voidaan todistaa Hölderin epäyhtälön avulla.

Kuten Hölderin epäyhtälö, Minkowskin epäyhtälölle saadaan diskreetin mitan suhteen muotoon:

\left( \sum_{k=1}^n |x_k + y_k|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p \right)^{1/p}

kaikille reaali- tai kompleksiluvuille x1, ..., xn, y1, ..., yn, missä n on S:n dimensio.