Lemniskaatta

Bernoullin lemniskaatta ja sen molemmat polttopisteet

Lemniskaatta on algebrallisessa geometriassa käytetty nimitys muutamasta suljetusta, kahden silmukan muodostamasta käyrästä, jotka muodoltaan muistuttavat numeroa 8 tai äärettömän merkkiä ∞. Termi johtuu latinan sanasta ”lēmniscātus”, joka tarkoittaa ”riippuvin nauhoin koristettua”, joka vuorostaan johtuu kreikan kielen nauhaa tarkoittavasta sanasta λημνίσκος tai viittaa mahdollisesti villaan, josta nauhoja tehtiin.

Historia ja esimerkkejä

Boothin lemniskaatta

Boothin lemniskaattoja

Kaksisilmukkaisia, kahdeksikon muotosia käyriä käsitteli tiettävästi ensimmäisenä kreikkalainen uusplatonistinen filosofi ja matemaatikko Proklos 400-luvulla. Hän tutki toruspinnan ja sen akselin suuntaisen tason leikkauskuvioita. Hän havaitsi, että suurin osa niistä koostuu joko yhdestä tai kahdesta ellipsistä. Poikkeuksena on kuitenkin tapaus, jolloin taso sivuaa torusta sisäpinnalta eli on sen tangenttipinta. Siinä tapauksessa leikkauskuvio sai kaksisilmukkaisen muodon, jolle Proklos antoi nimen hippopede (kreik. ἱπποπέδη, ”hevosen jalkaraudat”, sillä se muistutti laitetta, jolla hevosen jalat sidottiin yhteen. Nimitys lemniskaatta on peräisin 1600-luvun lopulta, ja Prokloksen keksimää leikkauskuviota tutki tarkemmin 1800-luvulla matemaatikko James Booth.

Algebrallisesti Boothin lemniskaatta voidaan määritellä neljännen asteen yhtälön

$(x^{2}+y^{2})^{2}-cx^{2}-dy^{2}=0$

kuvaajaksi, kun d on negatiivinen. Jos d on postitiivinen, saman yhtälön kuvaaja on Boothin ovaali.

Bernoullin lemniskaatta

Bernoullin lemniskaatta

Vuonna 1680 Giovanni Domenico Cassini tutki joukkoa käyriä, joita nykyisin sanotaan Cassinin käyriksi. Cassinin käyrä on määritelmän mukaan niiden pisteiden ura, joiden kahdesta kiinteästä pisteestä, käyrän polttopisteistä, mitattujen etäisyyksien tulo on vakio. Siinä erikoistapauksessa, että tämä vakiotulon neliöjuuri on yhtä suuri kuin puolet polttopisteiden välisestä etäisyydestä, tuloksena saadaan lemniskaatta.

Vuonna 1694 Johann Bernoulli tutki erästä Leibnitzin aikaisemmin esittämää isokrooniprobleemaa ja siinä yhteydessä tarkemmin myös edellä mainittua Cassinin käyrän erikoistapausta, jota nykyisin sanotaan Bernoullin lemniskaataksi. Se voidaan analyyttisesti määritellä yhtälön

$(x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}(x^{2}-y^{2})$

kuvaajaksi. Myös Johann Bernoullin veli Jakob Bernoulli tutki samaa käyrää samana vuonna, kuitenkaan kiinnittämättä huomiota siihen, että se oli Cassinin käyrän erikoistapaus, ja antoi sille nimen lemniskaatta.

Bernoullin lemniskaatta voidaan yksinkertaisemmin määritellä geometrisesti niiden pisteiden uraksi, joiden polttopisteistä mitattujen etäisyyksien puolikkaiden tulo on yhtä suuri kuin polttopisteiden välisen etäisyyden neliö.

Bernoullin lemniskaatta saadaan myös Prokluksen lemniskaatan erikoistapauksena, kun $d=-c$, ja samalla se on sellaisen toruksen tasoleikkaus, jonka keskellä olevan reiän läpimitta on sama kuin toruksen paksuus. Bernoullin lemniskaattaan liittyvät myös lemniskaattiset elliptiset funktiot, jotka ovat trigonometristen funktioiden vastineita tälle käyrälle, sekä Gaussin vakio, joka esiintyy tämän lemniskaatan kaarenpituuden lausekkeessa.

Geronon lemniskaatta

Geronon lemniskaatta

Toinen tunnettu lemniskaatta on Geronon lemniskaatta eli Huygensin lemniskaatta, joka on neljännen asteen yhtälön $x^{4}=a^{2}(x^{2}-y^{2})$ kuvaaja. Vivianin käyrä, joka on pallopinnan ja lieriön kolmiulotteinen leikkausviiva, projisoituu tasolle Geronon lemniskaatan muotoiseksi käyräksi.

Muita lemniskaattoja

”Paholaisen käyrä”, kun a = 0,8 ja b = 1

Muita algebrallisia käyriä, jotka tai joiden osat muistuttavat kahdeksan numeroa, ovat:

• paholaisen käyrä, jonka määrittelee neljännen asteen yhtälö $y^{2}(y^{2}-a^{2})=x^{2}(x^{2}-b^{2})$ ja jonka erillisistä osista yksi on kahdeksikon muotoinen
• Wattin käyrä, mekaanisen liitoksen muodostama kahdeksikon muotoinen käyrä. Wattin käyrä on kuudennen asteen käyrän $(x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-d^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}-b^{2})=0$ erikoistapaus, ja myös Bernoullin lemniskaatta on sen erikoistapaus.
• Analemma on kahdeksikon muotoinen käyrä, jonka muodostavat Auringon asemat taivaalla keskipäivällä eri aikoina vuodesta.
• Lorenzin attraktori on muodoltaan lemniskaattaa muistuttava käyrä, joka saadaan kolmen yhteen kytketyn differentiaaliyhtälön ratkaisuista.

Lähteet

• Michiel Hazewinkel (toim.): ”Lemniscates”, Encyclopeia of Mathematics. Springer, 2001. ISBN ISBN 978-1-55608-010-4. Teoksen verkkoversio.

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Lemniskaatta Wikimedia Commonsissa