Lemniskaatta

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Bernoullin lemniskaatta ja sen molemmat polttopisteet

Lemniskaatta on algebrallisessa geometriassa käytetty nimitys muutamasta suljetusta, kahden silmukan muodostamasta käyrästä, jotka muodoltaan muistuttavat numeroa 8 tai äärettömän merkkiä ∞.[1][2] Termi johtuu latinan sanasta ”lēmniscātus”, joka tarkoittaa ”riippuvin nauhoin koristettua”[3], joka vuorostaan johtuu kreikan kielen nauhaa tarkoittavasta sanasta λημνίσκος tai viittaa mahdollisesti villaan, josta nauhoja tehtiin.[1]

Historia ja esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Boothin lemniskaatta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Boothin lemniskaattoja

Kaksisilmukkaisia, kahdeksikon muotosia käyriä käsitteli tiettävästi ensimmäisenä kreikkalainen uusplatonistinen filosofi ja matemaatikko Proklos 400-luvulla. Hän tutki toruspinnan ja sen akselin suuntaisen tason leikkauskuvioita. Hän havaitsi, että suurin osa niistä koostuu joko yhdestä tai kahdesta ovaalita. Poikkeuksena on kuitenkin tapaus, jolloin taso sivuaa torusta sisäpinnalta eli on sen tangenttipinta. Siinä tapauksessa leikkauskuvio sai kaksisilmukkaisen muodon, jolle Proklos antoi nimen hippopede (kreik. ἱπποπέδη, ”hevosen jalkaraudat”, sillä se muistutti laitetta, jolla hevosen jalat sidottiin yhteen. Nimitys lemniskaatta on peräisin 1600-luvun lopulta, ja Prokloksen keksimää leikkauskuviota tutki tarkemmin 1800-luvulla matemaatikko James Booth.[1]

Algebrallisesti Boothin lemniskaatta voidaan määritellä neljännen asteen yhtälön

kuvaajaksi, kun d on negatiivinen. Jos d on postitiivinen, saman yhtälön kuvaaja on Boothin ovaali.

Bernoullin lemniskaatta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Bernoullin lemniskaatta

Vuonna 1680 Giovanni Domenico Cassini tutki joukkoa käyriä, joita nykyisin sanotaan Cassinin käyriksi. Cassinin käyrä on määritelmän mukaan niiden pisteiden ura, joiden kahdesta kiinteästä pisteestä, käyrän polttopisteistä, mitattujen etäisyyksien tulo on vakio. Siinä erikoistapauksessa, että tämä vakiotulon neliöjuuri on yhtä suuri kuin puolet polttopisteiden välisestä etäisyydestä, tuloksena saadaan lemniskaatta.

Vuonna 1694 Johann Bernoulli tutki erästä Leibnitzin aikaisemmin esittämää isokrooniprobleemaa ja siinä yhteydessä tarkemmin myös edellä mainittua Cassinin käyrän erikoistapausta, jota nykyisin sanotaan Bernoullin lemniskaataksi.[4] Se voidaan analyyttisesti määritellä yhtälön

kuvaajaksi.[4] Myös Johann Bernoullin veli Jakob Bernoulli tutki samaa käyrää samana vuonna, kuitenkaan kiinnittämättä huomiota siihen, että se oli Cassinin käyrän erikoistapaus, ja antoi sille nimen lemniskaatta.[5]

Bernoullin lemniskaatta voidaan yksinkertaisemmin määritellä geometrisesti niiden pisteiden uraksi, joiden polttopisteistä mitattujen etäisyyksien puolikkaiden tulo on yhtä suuri kuin polttopisteiden välisen etäisyyden neliö.[5]

Bernoullin lemniskaatta saadaan myös Prokluksen lemniskaatan erikoistapauksena, kun , ja samalla se on sellaisen toruksen tasoleikkaus, jonka keskellä olevan reiän läpimitta on sama kuin toruksen paksuus.[1] Bernoullin lemniskaattaan liittyvät myös lemniskaattiset elliptiset funktiot, jotka ovat trigonometristen funktioiden vastineita tälle käyrälle, sekä Gaussin vakio, joka esiintyy tämän lemniskaatan kaarenpituuden lausekkeessa.

Geronon lemniskaatta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Geronon lemniskaatta

Toinen tunnettu lemniskaatta on Geronon lemniskaatta eli Huygensin lemniskaatta, joka on neljännen asteen yhtälön kuvaaja.[6] Vivianin käyrä, joka on pallopinnan ja lieriön kolmiulotteinen leikkausviiva, projisoituu tasolle Geronon lemniskaatan muotoiseksi käyräksi.[7]

Muita lemniskaattoja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

”Paholaisen käyrä”, kun a = 0,8 ja b = 1

Muita algebrallisia käyriä, jotka tai joiden osat muistuttavat kahdeksan numeroa, ovat:

  • paholaisen käyrä, jonka määrittelee neljännen asteen yhtälö ja jonka erillisistä osista yksi on kahdeksikon muotoinen[8]
  • Wattin käyrä, mekaanisen liitoksen muodostama kahdeksikon muotoinen käyrä. Wattin käyrä on kuudennen asteen käyrän erikoistapaus, ja myös Bernoullin lemniskaatta on sen erikoistapaus.
  • Analemma on kahdeksikon muotoinen käyrä, jonka muodostavat Aurinon asemat taivaalla keskipäivällä eri aikoina vuodesta.
  • Lorenzin attraktori on muodoltaan lemniskaattaa muistuttava käyrä, joka saadaan kolmen yhteen kytketyn differentiaaliyhtälön ratkaisuista.
Käännös suomeksi
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Lemniscate

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c d Norbert Schappacher: ”Some milestones of lemniscatomy”, Algebraic Geometry, s. 257–290. Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, nro 193. {{{Julkaisija}}}, 1997.
  2. J. Erickson: ”Lemniscate”, Beautiful Mathematics, s. 1–3. MAA Spectrum. Mathematical Association of America, 2011. ISBN 9780883855768. Teoksen verkkoversio. .
  3. Annukka Aiko (toim.): ”Lemniskaatta”, Uusi sivistyssanakirja, s. 372. Otava, 1973. ISBN 951-1-00944-3.
  4. a b H. J. M. Bos: For Dirk Struik, s. 3–14. Boston Stud. Philos. Sci., IV. Reidel, 1974. Teoksen verkkoversio.
  5. a b Lemniscate Wolfram MathWorld. Viitattu 3.8.2017.
  6. Eight Curve Wolfram MathWorld. Viitattu 3.8.2017.
  7. Costa Rossi, Elena Marchetti, Matthias Albercht: Mathematical and Historical Investigation on Domes and Vaults. Aesthetics and architectural composition : proceedings of the Dresden International Symposium of Architecture 2004, 2005. Mammendorf: Pro Literatur.
  8. David Darling: ”Devil's Curve”, The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes, s. 91–92. John Wiley & Sons, 2004. ISBN 9780471667001.