Cassinin käyrä

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Joitakin Cassinin käyriä. (b=0.6a, 0.8a, a, 1.2a, 1.4a, 1.6a)

Cassinin käyrä on tasokäyrä, niiden pisteiden ura, joiden etäisyyksien tulo kahdesta kiinteästä pisteestä lukien on tietty vakio.[1] Määritelmä muistuttaa ellipsin määritelmää, jossa kuitenkin näiden etäisyyksien summa on vakio, ei tulo. Cassinin käyrä on saanut nimensä tähtitieteilijä Giovanni Domenico Cassinin mukaan[1], joka tutki tällaisia käyriä vuonna 1680[2]

Muodollinen määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoot q1 ja q2 kaksi kiinteää pistettä tasossa ja b jokin vakio. Tällöin Cassinin käyrä, jonka polttopisteet ovat q1 ja q2, määritellään niiden pisteiden p uraksi, joiden etäisyyksien tulo pisteistä q1 ja q2 on b2. Jos siis funktio dist(x,y) määritellään pisteiden x ja y väliseksi etäisyydeksi, kaikki Cassinin käyrän pisteet toteuttavat yhtälön

Käyrän yhtälö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yksinkertaisimmassa tapauksessa Cassinin käyrän molemmat polttopisteet ovat suorakulmaisen koordinaatiston x-akselilla samalla etäisyydellä origosta. Jos tämä etäisyys on a, nämä pisteet ovat (a, 0) ja (-a, 0). Tällöin käyrän yhtälö on

Tämä voidaan sieventää muotoon

Cassinin käyrä on siis neljännen asteen käyrä.

Napakoordinaatistossa yhtälö on

Käyrän muoto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Käyrän muoto riippuu suhteesta e=b/a. Kaikki Cassinin käyrät, joilla tämä suhde on yhtä suuri, ovat yhdenmuotoisia.

Jos e on suurempi kuin 1, käyrä on yksiosainen silmukka, joka sulkee sisäänsä molemmat polttopisteet. Jos e on pienempi kuin 1, käyrä muodostuu kahdesta erillisestä silmukasta, joista kumpikin sulkee sisäänsä yhden polttopisteen. Jos e=1 eli b=a, käyrä leikkaa itsensä origossa. Tämä Cassinin käyrän erikoistapaus tunnetaan myös Bernoullin lemniskaattana, ja sen yhtälö yksinkertaistuu muotoon

.

Rajatapauksessa, kun a → 0 (ja e -> ), käyrä lähestyy muodoltaan ympyrää

eli yksinkertaisemmin

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • J. Dennis Lawrence: A catalog of special plane curves, s. 5,153–155. Dover Publications, 1972. ISBN 0-486-60288-5.
  • A.B. Basset: An Elementary Treatise on Cubic and Quartic Curves, s. 162 seur.. Lontoo: Deighton Bell and Co., 1901.
  • Lawden, D. F., "Families of ovals and their orthogonal trajectories", Mathematical Gazette 83, November 1999, 410-420.

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b Otavan iso Fokus, 1. osa (A-El), s. 458, art. Cassini, Giovanni Domenico. Otava, 1973. ISBN 951-1-00273-2.
  2. R.C. Yates: A Handbook on Curves and Their Properties, s. 8. J. W. Edwards, 1952.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]