Juurifunktio

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Juurifunktio on muuttujan matemaattinen funktio, joka on potenssifunktion erikoistapaus. Se voidaan esittää yleistettynä

missä on potenssi ja yksikkömurtoluku sen eksponentti. Eksponentissa luku kutsutaan myös juuren asteeksi. Yleensä juurifunktiot rajoitetaan asteisiin n = 2, 3, 4, ..., vaikka myös aste n = 1 sopisi ominaisuuksiensa puolesta juurifunktioksi. Ylempi merkintä tarkoittaa samaa asiaa kuin Suomen koulumatematiikassa käytetty merkintä

Juurifunktion ominaisuuksia

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Juurifunktion määrittelyjoukkona voi joskus olla kaikki reaaliluvut, mutta yleensä vaaditaan ei-negatiivisuutta eli laskettavuuden parantamiseksi. Jos juuren aste on parillinen, on määrittelyjoukko rajoitettu , mutta parittomalla asteella käyvät kaikki reaaliluvut. Tästä seuraa kuitenkin eräs yllättävä ongelma kompleksiluvuilla. Esimerkiksi negatiivisten lukujen kuutiojuuren arvon määrityksenä voisi käyttää potenssilaskennan päättelyä, jolla On kuitenkin olemassa kolme kompleksilukua, joiden kolmas potenssi on . Jos juurilausekkeen arvoksi kelpuutetaan myös kompleksiluvut, valitaan näistä oletusarvoisesti se, jonka napakulman itseisarvo on pienin ja jos kahden kompleksiluvun napakulmien itseisarvot ovat samat, valitaan näistä positiivinen vaihtoehto. Lukujen napakulmat ovat vastaavasti ja siksi lausekkeen arvoksi valitaan .[1]

Juurifunktiot, joilla on pariton aste.
Juurifunktiot, joilla on parillinen aste.

Parillisuus ja parittomuus

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Juurifunktioille, joiden aste on parillinen luku, ei ole mielekästä määrittää parillisuutta ja parittomuutta, koska jo määrittelyjoukko käsittää vain positiiviset reaaliluvut. Sen sijaan parittomilla juurifunktioilla määrittelyjoukkona on kaikki reaaliluvut. Parittomat juurifunktiot ovat parittomia funktioita.

Kaikki juurifunktiot ovat aidosti monotonisia ja vieläpä aidosti kasvavia funktioita.[2]

Käänteisfunktiot

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Juurifunktioiden käänteisfunktiot ovat potenssifunktioita, joiden eksponentit ovat luonnollisia lukuja . Neliöjuurifunktion käänteisfunktio on toisen asteen potenssifunktio eli kvadraattinen funktio [3] Kuutiojuurifunktion käänteisfunktio on

Yleistäen voidaan todeta, että käänteisfunktiot ovat parillisilla asteilla

ja parittomilla asteilla

Derivointi ja integrointi

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yleinen potenssien derivaatta, kun lasketaan

[4]

Kun juurifunktion aste on , tulee derivaataksi

[4]

tai vaihtoehtoisesti

[4]

Neliöjuuren derivaatta on siten

[3]

ja kuutiojuuren derivaatta

[4]

ja neljäsjuuren derivaatta

[4]

n-asteisen juurifunktion yleinen integraalifunktio saadaan

[4]

eli

[4]

Silloin neliöjuuren integraali on

[4]

ja kuutiojuuren integraali

[4]

Kompleksiluvut

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Juurifunktioiden määrittelyjoukko voidaan laajentaa koskemaan kompleksilukuja . De Moivre'n teoreemassa, jossa kompleksiluvun reaalilukuinen potenssi esitetään polaarisessa muodossa

[5]

voidaan vaihtaa potenssi yksikkömurtoluvuksi

kun [5]

Neliöjuurelle saadaan kaksi arvoa, kun ja

Ensimmäinen juuri on arvoltaan

ja toinen

eli

Esimerkki neliöjuurella

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos lasketaan kompleksiluvun neliöjuuri, muutetaan se ensin polaarimuotoon. Modulus on ja napakulma eli Siten Neliöjuureksi saadaan sitten kaksi arvoa

Kuutiojuuri antaa kolme arvoa, kun

Neljäs antaa neljä arvoa, kun

  • Weisstein, Eric W.: Cube Root (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  1. Kivelä, Simo K.: Lukiotason matematiikan tietosanakirja (html) (Juurifunktion määritelmän laajennus) 2001. Helsinki: Teknillinen korkeakoulu.
  2. Jyväskylän Yliopisto: Juurifunktio
  3. a b Weisstein, Eric W.: Square Root (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. a b c d e f g h i Weisstein, Eric W.: Power (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. a b Spiegel, Murray R.: Mathematical Handbook of Formulas and Tables. New York: McGraw-Hill Book Company, 1968. (englanniksi)

Kirjallisuutta

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]