Elementtimenetelmä

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Elementtiverkko, jota käytetään magneettikentän mallintamiseen. Eri värit kuvaavat eri materiaaleja: oranssi on käämi, vaaleansininen on ferromagneettinen kappale (esimerkiksi rautaa) ja harmaa on ilmaa.

Elementtimenetelmä (engl. Finite Element Method, FEM) on numeerinen menetelmä differentiaaliyhtälöiden, erityisesti osittaisdifferentiaaliyhtälöiden, ratkaisemiseen. Menetelmä perustuu alkuperäisen jatkuvan ongelman muuntamiseen lineaariseksi yhtälöryhmäksi diskretoimalla, jolloin ongelma voidaan ratkaista tietokoneella.[1] Elementtimenetelmän antama ratkaisu on paloittain polynominen approksimaatio tarkasta ratkaisusta. Usein vastaus rajataan ensimmäisen asteen polynomeihin, jolloin ratkaisu on paloittain lineaarinen funktio.

Elementtimenetelmällä saatu ratkaisu yllä olevaan ongelmaan.

Sovellukset[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Elementtimenetelmäverkko ihmisen polvinivelestä.

Käytännössä elementtimenetelmää käytetään lähinnä kaksi- ja kolmiulotteisten ongelmien ratkaisuun, sillä yksiulotteisiin ongelmiin on usein helppo löytää ratkaisu analyyttisesti. Menetelmä on hyvin monikäyttöinen, sillä se soveltuu kaikenlaisten osittaisdifferentiaaliyhtälöiden numeeriseen ratkaisemiseen. Elementtimenetelmällä voidaan mallintaa muun muassa rakenteiden taipumista ja niiden kokemia jännityksiä, kappaleen sisäistä sähkönjohtavuutta sekä nesteen tai kaasun käyttäytymistä. Menetelmä luotiin alun perin erityisesti kone- ja rakennustekniikan alalle erilaisten rakenteiden statiikan ja dynamiikan käsittelyyn, mutta nykyään sitä käytetään laajasti eri aloilla, muun muassa lujuusopissa, virtausmekaniikassa, geofysiikassa, sähkötekniikassa, akustiikassa ja bioteknologiassa.[2]

Matemaattinen muotoilu[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yksiulotteinen esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tutkitaan esimerkkinä seuraavaa reunaehto-ongelmaa: etsi funktio , joka toteuttaa seuraavat ehdot:

.

Tässä tarkoittaa sellaisten funktioiden joukkoa, jotka ovat kahdesti derivoituvia välillä .

Heikko muoto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Elementtimenetelmää varten ongelma on kirjoitettava niin sanottuun heikkoon muotoon eli variaatiomuotoon. Tämä tapahtuu kertomalla yhtälö molemmin puolin jollakin reunaehdot täyttävällä funktiolla ja integroimalla saadun yhtälön molemmat puolet.

Tämän yhtälön vasen puoli voidaan osittaisintegroida, jolloin osittaisintegroinnin toinen termi katoaa sen vuoksi, että . Saatu ongelma heikossa muodossa on tämän jälkeen

.

Yllä oleva yhtälö on tarkoitus ratkaista siten, että pyritään löytämään , joka toteuttaa yhtälön kaikilla tarpeeksi hyvin käyttäytyvillä funktioilla (sopiva funktioavaruus :lle on esimerkiksi Sobolevin avaruus). Heikon muodon etuna on, että se lieventää hieman ehtoja, joita funktiolta vaaditaan, jolloin useampi ongelma on ratkaistavissa. Nyt funktion on oltava vain kerran derivoituva ja lisäksi integraali voidaan määrittää, vaikka ei olisikaan derivoituva yksittäisissä pisteissä.

Diskretointi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Alkuperäinen funktio (sinisellä) ja sen approksimaatio paloittain lineaarisella funktiolla (punaisella).
Kuvassa on sinisellä kantafunktiot , joiden lineaarikombinaatio punainen käyrä on.

Jotta ongelman voisi ratkaista tietokoneella, vastausta pitää etsiä jostakin äärellisulotteisesta funktioavaruudesta. Elementtimenetelmän tapauksessa vastausta approksimoidaan paloittain määritellyllä polynomilla. Usein paloittain lineaariset funktiot riittävät, joten käytetään niitä tässäkin esimerkissä. Lineaariset kantafunktiot ovat nyt terävän hatun muotoisia ja ne määritellään seuraavasti:

Otetaan esimerkkiin neljä kantafunktiota. Tällöin mikä tahansa elementtiavaruuteen kuuluva funktio voidaan kirjoittaa tässä kannassa muodossa

joillain kertoimilla . Niinpä heikko ongelma elementtiavaruudessa on seuraava: etsi , jolle pätee

.

Funktio voidaan kirjoittaa kantafunktioiden avulla muodossa . Sijoitetaan tämä yllä olevaan. Nyt ongelmana on löytää kertoimet , joille

.

Elementtiavaruus on äärellinen ja riittää tarkistaa, että yhtälö totetuu :n ollessa avaruuden kantafunktio. Siispä ongelma voidaan kirjoittaa seuraavasti: löydä kertoimet siten, että

jokaiselle . Tämän voi nyt kirjoittaa lineaarisena yhtälöryhmänä

,

jossa matriisi ja vektorit sekä on määritelty seuraavasti:

.

Kantafunktiot ja niiden derivaatat sekä funktio tunnetaan ja matriisin elementit voidaan laskea näistä numeerisesti integroimalla, joten lineaarisesta yhtälöryhmästä voidaan ratkaista vektori . Huomionarvoista on, että matriisi on symmetrinen, positiividefiniitti ja suurin osa sen elementeistä on nollia. Saatu lineaarinen yhtälöryhmä on usein niin suuri, ettei sitä kannata ratkaista eksaktisti ja vektori ratkaistaankin usein esimerkiksi konjugaattigradienttimenetelmällä.

Moniulotteinen esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Paloittain määritelty lineaarinen funktio kahdessa ulottuvuudessa. Alla näkyy elementtimenetelmässä käytetty verkko ja yllä yksi mahdollinen tätä verkkoa käyttämällä saatu ratkaisu.

Elementtimenetelmä soveltuu hyvin esimerkiksi Poissonin yhtälön ratkaisuun sekä kahdessa että kolmessa ulottuvuudessa. Yhtälö voidaan kirjoittaa Laplacen operaattorilla muodossa:

missä on jokin tarpeeksi mukavan muotoinen kaksi- tai kolmiulotteinen alue, esimerkiksi monikulmio. Tämän yhtälön heikko muoto on

.

Elementtimenetelmä toimii kaksi- ja kolmiulotteisissa tapauksissa hyvin samalla lailla kuin yksiulotteisessakin. Kaksiulotteista ratkaisua varten on muodostettava kolmioista koostuva verkko, jonka kolmioiden kärkipisteissä aina yksi kantafunktioista on arvoltaan yksi ja kaikki muut nollia. Näin muodostuvat lineaariset kantafunktiot ovat ikään kuin pyramidin muotoisia. Tätä kantaa käyttämällä ratkaisut ovat paloittain määriteltyjä lineaarisia funktioita kahdessa ulottuvuudessa. Kolmiulotteisessa tapauksessa verkko taas koostuu tetraedreistä. Lineaarinen ongelma muodostetaan heikosta muodosta käytännössä analogisesti yksiulotteisen esimerkin kanssa.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Antti Hannukainen, Mika Juntunen ja Antti Huhtala: Finite Element Methods 1 mycourses.aalto.fi. 2015. Viitattu 7.6.2021.
  2. Matti Lähteenmäki: Elementtimenetelmän perusteet mlahteen.fi. 2018. Viitattu 7.6.2021.