Paloittain määritelty funktio

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Itseisarvofunktio on eräs esimerkki paloittain määritellystä funktiosta.

Paloittain määritelty funktio tarkoittaa matematiikassa funktiota, joka on määritelty eri tavoin määrittelyjoukkonsa osajoukoissa.[1] Funktion määritteleminen paloittain on tarpeen silloin, kun yksi tietty funktio ei riitä kuvaamaan tarkasteltavaa tilannetta tai kun halutaan laajentaa funktion määrittelyjoukkoa sellaisiin joukkoihin, joissa se ei muutoin olisi mahdollista.

Funktion määrittely paloittain[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon ja joukkoja ja joukolla kappaletta erillisiä osajoukkoja, , jotka osittavat joukon . Ts. kaikilla , kaikilla ja . Olkoon lisäksi joukoilta joukolle funktiot

.

Tällöin funktio ,

on paloittain määritelty funktio. Funktion määrittelemisessä paloittain on ehtoja, joiden tulee toteutua:

  1. Osajoukkojen tulee olla erillisiä. Näin varmistetaan, että paloittain määritelty funktio on funktio, eli se ei saa kahta tai useampaa eri arvoa samassa pisteessä.
  2. Osajoukkojen tulee täyttää määrittelyjoukko . Näin varmistetaan, että funktio on hyvin määritelty (määrittelyjoukkoon ei jää ''aukkoja'').
  3. Funktion pitää olla määritelty koko osajoukossa . Tämä liittyy edelliseen kohtaan.

Esimerkiksi, jos määrittelyjoukosta otetaan osajoukot , ja , niin funktiota ei voi määritellä paloittain joukkojen , ja avulla, sillä ehdot 1. ja 2. eivät toteudu ( ja eivät ole erillisiä joukkoja ja luku 5 ei kuulu yhteenkään osajoukoista). Osajoukkoja voi olla myös äärettömän monta.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Erikoisfunktioita[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Heavisiden funktio
    Yksinkertaisimpia paloittain määriteltyjä funktioita edustaa Heavisiden funktio
Sen määrittelyjoukko on koko reaaliakseli.
  • Signum-funktio
    Signum-funktio
Sen määrittelyjoukko on koko reaaliakseli.

Muita esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Paloittain määritellyn funktion graafissa avoin ympyrä tarkoittaa määrittelyjoukon osavälin avointa päätepistettä ja suljettu vastaavasti suljettua päätepistettä.

Funktio ,

on paloittain määritelty koko reaaliakselilla ja se koostuu kolmesta eri funktiosta, jotka on määritelty omilla osaväleillään , ja . Osa funktion graafista on esitetty viereisessä kuvassa.

Paloittain määriteltyjen funktioiden ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yhden reaalimuuttujan reaaliarvoiset funktiot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Paloittain määritelty funktio on jatkuva, jos se on paloittain jatkuva ja lisäksi jokaisessa määrittelyvälin reunapisteessä pätee jatkuvuusehto
.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Adams, Robert A. & Essex, Christopher: Calculus, A Complete Course, 8. painos, s. 36. Pearson, 2014. ISBN 978-0-321-78107-9. (englanniksi)