Diskreetti tasainen jakauma

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Diskreetti tasainen jakauma
Todennäköisyysfunktio
Diskreetin tasaisen jakauman todennäköisyysfunktio, kun n = 5
n = 5, missä n = b − a + 1
Kertymäfunktio
Diskreetin tasaisen jakauman kertymäfunktio, kun n = 5
Merkintä tai tai
Parametrit

Määrittelyjoukko
Pistetodennäköisyysfunktio
Kertymäfunktio
Odotusarvo
Mediaani
Moodi N/A
Varianssi
Vinous
Huipukkuus
Entropia
Momentit generoiva funktio
Karakteristinen funktio

Diskreetti tasainen jakauma (engl. discrete uniform distribution) eli symmetrinen jakauma on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä symmetrisen diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma. Tasainen jakauma viittaa arvojen esiintymistodennäköisyyksiin, jotka ovat kaikille samat. Suomalaisen lukiokoulutuksen matematiikan opetuksessa diskreetti tasainen jakauma muodostaa yleisimmän ryhmän esimerkkejä satunnaismuuttujien opetuksessa.[1]

Hieman samantapainen, mutta jatkuvan satunnaismuuttujan jakauma on tasajakauma.

Merkinnät[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Satunnaisilmiö tuottaa n erilaista alkeistapausta, joiden todennäköisyydet ovat symmetrisesti samat. Muodostetaan niistä satunnaismuuttuja numeroimalla tapaukset juoksevasti. Silloin satunnaismuuttujan jakauma voidaan merkitä esimerkiksi

[2]

missä parametri n määrittää perusjoukon lukumäärään. Saman satunnaisilmiön modifioitu satunnaismuuttuja saa lukuarvot ja se voidaan merkitä

[2]

Kun halutaan huomioida poikkeavat numeeriset rajat, voidaan ne kirjoittaa kahdella parametrilla a ja b siten, että

jolloin perusjoukossa on alkeistapausta.

Muita käytettyjä merkintöjä ovat

[3]

Tasaisia diskreettejä jakaumia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yleiset jakaumat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Periaatteessa satunnaismuuttuja voisi tuottaa arvoja, jotka eivät sijaitse lukusuoralla tasaisin välein, vaan sijoittuen sille mielivaltaisesti . Arvojen todennäköisyydet olisivat kuitenkin symmetrisesti yhtä suuret. Jos satunnaisilmiön alkeistapaukset eivät ole lukuja, rittää todeta jakauman todennäköisyyksien symmetrisyys. Mikään ei estä numeroimasta epäsäännöllisesti sijaitsevat lukuarvot uudelleen, jolloin edellisistä merkinnöistä on apua.[1]

Esimerkki: Kolikonheitto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kolikonheitolla mielletään olevan tasainen diskreetti jakauma, sillä kahden tuloksen, kruunan ja klaavan, todennäköisyydet ovat samat (ainakin likimain). Jos tulokset, kruuna ja klaava, muutetaan vastaavasti lukuarvoiksi 0 ja 1, saadaan satunnaismuuttuja. Näiden arvojen todennäköisyydet ovat siis kumpikin ja jakaumaa merkitään .[1]

Esimerkki: Nopanheitto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Esimerkiksi nopanheitossa kukin arpakuution tahko esiintyy yhtä yleisesti. Jos on satunnaismuuttuja, jonka lukuarvoja ovat silmäluvut, on sen perusjoukko ja sen suuruus kuusi. Kukin arvo esiintyy siten todennäköisyydellä . Sen sijaan kahden nopan heitossa silmälukujen summa ei enää ole tasianen, sillä summat esimerkiksi summa 7 esiintyy todennäköisyydellä ja summa 2 todennäköisyydellä . Jakaumaa merkitään esimekiksi .[1]

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Alla olevat ominaisuudet esitetään satunnaismuuttujan jakaumalle , jonka perusjoukon suuruus on n.

Todennäköisyysfunktio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Diskreetin tasaisen jakauman todennäköisyysfunktio poikkeaa nollasta vain yksittäisissä pisteissä eli satunnaismuuttujan perusjoukon arvoilla. Sitä kutsutaan myös pistetodennäköisyysfunktioksi ja merkitään

Kertymäfunktio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Diskreetin tasaisen jakauman kertymäfunktio on porrasfunktio, jonka välillä olevat arvot voidaan laskea lausekkeesta

Merkintä tarkoittaa lattiafunktiota. Kun , on , ja kun , on . Se on kussakin pisteessään oikealta puolelta jatkuva funktio.

Odotusarvo[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yleisessä tapauksessa odotusarvo on

[1]

joka vastaa lukujen keskiarvoa.

Kun jakauma on , on odotusarvo välin päätepisteiden avulla ilmaistuna

,

ja peräkkäisten lukujen tapauksessa saadaan

Varianssi ja keskihajonta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yleisessä tapauksessa varianssi on

missä on odotusarvo.

Se voidaan ilmaista myös välin päätepisteiden avulla

tai peräkkäisten lukujen tapauksessa

.

Keskihajonta saadaan varianssin neliöjuuresta

[1]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c d e f Alatupa, Sami et al.: Pitkä Sigma 3, s. 66–80. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Otava, 2010. ISBN 978-951-31-5343-4.
  2. a b Ruskeapää, Heikki: Todennäköisyyslaskenta I(luentomoniste), Turun Yliopisto, 2012
  3. Emet, Stefan: Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastotieteeseen, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Turun Yliopisto, 2014

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]