Keskiarvo

Keskiarvo tarkoittaa lukua, joka ilmaisee keskimmäisyyttä. Tällainen 'keskimmäisyys' on kuitenkin lavea käsite, joten on olemassa useita tapoja laskea keskiarvo. Tavallisin niistä on aritmeettinen keskiarvo, joka ilmaisee lukujen summaa jaettuna lukujen määrällä.

Pythagoraan keskiarvot

Pääartikkeli: Pythagoraan keskiarvo

Pythagoraan keskiarvoilla tarkoitetaan aritmetiikassa ja geometriassa niitä keskiarvoja, joita käytettiin jo muinaisissa Babyloniassa, Egyptissä ja antiikin Kreikassa. Niitä käsitteli ja kehitti tuolloin eteenpäin Pythagoras tutkielmassaan verrannoista. Hän esitteli siinä ensin aritmeettisen keskiarvon lisäksi geometrisen keskiarvon ja harmonisen keskiarvon ja niiden perään vielä seitsemän uutta "keskiarvoa" verrantojen avulla.

Aritmeettinen keskiarvo

Pääartikkeli: Aritmeettinen keskiarvo

Aritmeettinen keskiarvo (lyhenne ka.) tai lyhyesti keskiarvo on lukujen summa jaettuna niiden lukumäärällä. Puhuttaessa keskiarvosta tarkoitetaan yleensä juuri tätä aritmeettista keskiarvoa.

Aritmeettinen keskiarvo lasketaan käyttäen kaavaa:

${\bar {x}}={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$,

jossa $n$ on yhteenlaskettavien lukujen lukumäärä.

Geometrinen keskiarvo

Pääartikkeli: Geometrinen keskiarvo

Positiivisten lukujen $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\$ geometrinen keskiarvo $g(\mathbf {x} )$ kuvaa lukujen keskiarvoa logaritmisella asteikolla.

Geometrinen keskiarvo lasketaan kaavalla:

$g(\mathbf {x} )=(x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n})^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}}}.$

Jos lukuja on vain kaksi, niiden geometrisesta keskiarvosta käytetään myös nimitystä keskiverto.

Harmoninen keskiarvo

Pääartikkeli: Harmoninen keskiarvo

Positiivisten lukujen $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ harmoninen keskiarvo $h(\mathbf {x} )$ on:

$h(\mathbf {x} )={\frac {n}{\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{x_{k}}}}}$.

Toisin sanoen harmoninen keskiarvo on lukujen käänteislukujen aritmeettisen keskiarvon käänteisluku.

Pythagoraan keskiarvojen vertailu

Kun positiivisista luvuista lasketaan Pythagoraan keskiarvot, niin aritmeettinen keskiarvo (AM) on suurin, geometrinen keskiarvo (GM) kahden muun välissä ja harmoninen (HM) keskiarvo on pienin. Tätä voidaan merkitä epäyhtälöillä:

$\mathrm {AM} \geq \mathrm {GM} \geq \mathrm {HM} \,$

Näistä ensimmäistä kutsutaan Aritmeettis-geometriseksi epäyhtälöksi ja jälkimmäistä Geometris-harmoniseksi epäyhtälöksi.

Yleistetty keskiarvo

Yleistetty keskiarvo tarkoittaa positiivisille luvuille $x_{1},\dots ,x_{n}$ määriteltyä keskiarvoa:

$M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{1/p}.$

jossa $p\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$. Se voidaan jatkaa myös äärettömyyspisteisiin $-\infty ,+\infty$ sekä pisteeseen $0$.

Yleistetyn keskiarvon eräitä erikoistapauksia on kirjattu oheiseen taulukkoon.

Keskiarvo	$p$	Tulos
Minimi	$p=-\infty$	$\min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$
Harmoninen keskiarvo	$p=-1$	${\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}$
Geometrinen keskiarvo	$p=0$	${\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}$
Aritmeettinen keskiarvo	$p=1$	${\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}$
Neliöllinen keskiarvo	$p=2$	${\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}$
Kuutiollinen keskiarvo	$p=3$	${\sqrt[{3}]{\frac {x_{1}^{3}+\dots +x_{n}^{3}}{n}}}$
Maksimi	$p=+\infty$	$\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$

Katso myös

• Painotettu keskiarvo
• Liukuva keskiarvo