Aritmeettis-geometrinen epäyhtälö

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Aritmeettis-geometrinen epäyhtälö on reaalilukuja koskeva epäyhtälö, jonka mukaan ei-negatiivisten lukujen aritmeettinen keskiarvo on aina vähintään yhtä suuri kuin niiden geometrinen keskiarvo. Muodollisesti, jos pätee x_1, x_2, \cdots, x_n\geq 0, niin on voimassa

\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \geq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}.

Aritmeettis-geometrinen epäyhtälö voidaan todistaa esimerkiksi suuruusjärjestysepäyhtälön tai Jensenin epäyhtälön avulla. Epäyhtälössä pätee yhtäsuuruus jos ja vain jos x_1 = x_2 = \cdots = x_n.

Jos lukujen x_i oletetaan kaikkien olevan positiivisia ja sovelletaan aritmeettis-geometrista epäyhtälöä lukuihin 1/x_1,1/x_2,\cdots,1/x_n, saadaan geometris-harmoninen epäyhtälö

 \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n{x_i}} \geq \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}} .

Tässä epäyhtälön oikealla puolella oleva lauseke on nimeltään harmoninen keskiarvo.

Painotettu aritmeettis-geometrinen epäyhtälö yleistää hieman aritmeettis-geometrista epäyhtälöä. Sen mukaan, jos a_1, a_2, \ldots, a_n ovat ei-negatiivisia reaalilukuja ja \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n ovat ei-negatiivisia reaalilukuja, joiden summa on yksi, on

 \lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 + \ldots + \lambda_n a_n \ge a_1^{\lambda_1} a_2^{\lambda_2} \cdots a_n^{\lambda_n},

eli

 \sum_{i=1}^n \lambda_i a_i \ge \prod_{i=1}^n a_i^{\lambda_i} .

Sovelluksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aritmeettis-geometrisen epäyhtälön avulla voidaan todistaa vaikkapa eksponenttifunktion olevan äärellinen kaikilla reaaliluvuilla: Todistetaan ensin, että \left(1+\frac xn\right)^n \le e^x. Määritellään a_n=(1+\frac xn)^n, jolloin on riittävää osoittaa että a_n on kasvava kun n>|x|. Tämä seuraa, kun valitaan aritmeettis-geometrisessa epäyhtälössä n kappaletta lukuja 1+\frac {x}{n} ja kerran 1. Toisaalta epäyhtälö e^x \le \left(1-\frac xn\right)^{-n} seuraa edellisestä, kun epäyhtälössä kirjoitetaan x:n paikalle -x.

Yleistyksiä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Painotettu aritmeettis-geometrinen epäyhtälö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoot epänegatiiviset luvut x_1,\ldots,x_n ja epänegatiiviset painot w_1\ldots,w_n annettu. Asetetaan w=\sum_{i=1}^n w_i. Jos w>0, on voimassa

\frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \cdots + w_n x_n}{w} \ge \sqrt[w]{x_1^{w_1} x_2^{w_2} \cdots x_n^{w_n}}

ja yhtäsuuruus pätee jos ja vain jos kaikki x_k, joilla w_k > 0, ovat yhtäsuuria. Tässä on oletettu, että 0^0=1.

Jos kaikki w_k=1, epäyhtälö palautuu tavalliseksi aritmeettis-geometriseksi epäyhtälöksi.

Muita aritmeettis-geometrisen epäyhtälön yleistyksiä ovat Muirheadin epäyhtälö, Maclaurinin epäyhtälö sekä potenssikeskiarvoepäyhtälö.

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.